« Polynôme/Définitions » : différence entre les versions
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Ligne 22 :
| titre = Exemples
| contenu =
* <math>5 + 2X + 3{X^2}
* <math>\quad -7</math> est un polynôme.
* <math>\sqrt{X}</math> n'est '''pas''' un polynôme.
Ligne 42 :
{{Propriété
| contenu =
Soient <math>P,Q\in \mathbb K[X]
* <math>\deg PQ = \deg P + \deg Q
* <math>\deg (P+Q) \le \max(\deg P;\deg Q)
}}
Ligne 59 :
{{Démonstration
| contenu =
Montrons que l'écriture <math>M=a{X^n}
Soit <math>b \in \R</math> et <math>p \in \N</math>. Supposons que <math>M=a{X^n}
En particulier, si <math>X=1
Sinon, pour tout <math>X
* si <math>a=0
* sinon, on a <math>{X^n}={X^p}
}}
L'écriture <math>M=a{X^n}
* <math>a
* <math>n
{{Exemple
| titre = Exemples
| contenu =
* <math>3{X^2}
* <math>-7{X^5}
* <math>\sqrt{2}{X^0}</math>, est un monôme de degré 0 et de coefficient <math>\sqrt{2}</math>
}}
Cas particuliers :
* si <math>n=1
* si <math>a=0
== Polynôme ==
Un ''polynôme'' <math>P
<math>P
* <math>n \in \N</math> ;
* <math>(a_0,a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n) \in \R^{n+1}</math>.
Ligne 97 :
Son '''écriture réduite ordonnée''' est : <math>P= \sum_{i=0}^n a_i{X^i}</math>. Nous admettrons qu'elle est unique.
* Les <math>a_i
* <math>a_n{X^n}
* <math>a_n
D'autres préfèrent écrire avec les indices dans l'autre sens, évidemment parce que cela a un intérêt :
Soit <math>(b_0,b_1,b_2,...,b_{n-1},b_n) \in \R^{n+1}</math>.<br /> et <math>P= b_n{x^0}+b_{n-1}{x^{1}}+...+b_2{x^{n-2}}+b_1{x^{n-1}}+b_0 {x^n}
En voici la raison, du point de vue du physicien, souvent <math>b_0</math> est non nul et on ne considère que les polynômes moniques ( ce coefficient vaut 1 ), alors si la dimension de x est [L], la dimension de <math>b_k</math> est [ L^k], et cela est bien utile pour retenir certaines formules.
Donnons un exemple : le discriminant de l'équation du troisième degré :
:<math> X^3 + p X + q
vaut :
:<math> \Delta = 4p^3+27q^2
Cette expression est « homogène » et pertinente (p puissance impaire, et q, paire). Eût-on écrit 3p' et 2q', on aurait eu le « discrimant réduit » p'^3 + q'^2 , plus étudié chez les physiciens comme « plus naturel »(?).
Ligne 123 :
| titre = Théorème et définition
| contenu =
Soient <math>P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k
On définit sur <math>\mathbb K[X]
* '''l'addition de deux polynômes''' : <math>P+Q = \sum_{k=0}^{n} (a_k+b_k) X^k
* '''la multiplication d'un polynôme par un scalaire''' : <math>\lambda P = \sum_{k=0}^{n}(\lambda a_k) X^k
* '''le produit de deux polynômes''' : <math>PQ = \sum _{k=0}^{2n} c_k X^k
où <math>c_k = \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}\ = \sum_{p+q=k}a_pb_q</math> .
<math>(\mathbb K[X],+,.,\times)
* <math>(\mathbb K[X],+,.)</math> est un ''<math>\mathbb K</math>-espace vectoriel'' ;
* <math>(\mathbb K[X],+,\times)</math> est un anneau (en plus, il est ''commutatif et intègre'').
Ligne 139 :
{{Exemple
| contenu =
Soient <math>P = X^2-3X+1
En calculant <math>PQ
:<math>\begin{align}
PQ &= X^2(X^3-5X+4) -3X(X^3-5X+4) + 1(X^3 - 5X + 4) \\
Ligne 146 :
&= X^5 - 3X^4 -4X^3 +19X^2-17X+4\end{align}</math>
Vérifions par exemple ce qui se passe pour <math>k = 4
:<math>c_4 = \sum_{i=0}^4 a_i b_{4-i} = a_0 b_4 + a_1 b_3 + a_2b_2+a_3b_1+a_4b_0 = 1\times 0 +(-3)\times 1+ 1\times 0 + 0\times -5 +0\times 4 = -3
ce qui correspond au résultat ci-dessus.
En fait, il suffit pour comprendre de remarquer que <math>a_iX^{i}\times b_{k-i}X^{k-i} = a_i b_{k-i}X^k
}}
Ligne 156 :
| titre = Propriété : Les unités de lK[X]
| contenu =
Les unités de <math>\mathbb K[X]
:<math>(\mathbb K[X])^* = \mathbb K^*
}}
On remarque donc que <math>\mathbb K[X]
{{Démonstration
| contenu =
Soit <math>P\in (\mathbb K[X])^*
Donc, en particulier <math>\deg P+\deg Q = \deg 1 = 0 \Rightarrow \deg P = \deg Q = 0
}}
On note <math> \mathbb K_n[X]
Ligne 174 :
| titre = Propriété : Bases du K-espace vectoriel K[X]
| contenu =
La '''base canonique''' de <math>\mathbb K[X]
* <math>\mathbb K[X]
* <math> \mathbb K_n[X]
Soit <math>(P_n)
Alors, pour tout <math>n
}}
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