« Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1 » : différence entre les versions

Et <math>\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{\ln(n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{n\ln(n)} = 0</math> et <math>\lim_{n \to \infty} \frac{(1+\tfrac{1}{n^2})}{(1 + \tfrac{2}{n} + \tfrac{2}{n^2})} = 1</math> donc <math>\lambda = 1\,</math> donc <math>R = 1\,</math>

En posant <math>y = x^2\,</math>, on en déduit que si <math>|x^2| < 4\,</math>, donc

D'après le critère de d'Alembert, si <math>5x^2 < 1\,</math>, ce qui équivaut à <math>x^2 < \tfrac{1}{5}</math>, ce qui équivaut à <math>|x| < \tfrac{1}{\sqrt{5}}</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0}u_n</math> converge absolument.

Si <math>5x^2 > 1\,</math>, ce qui équivaut à <math>|x| > \tfrac{1}{\sqrt{5}}</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0}u_n</math> diverge grossièrement. Donc le rayon de convergence de la série est <math>\tfrac{1}{\sqrt{5}}</math>.