« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

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* <math>\scriptstyle(Z_1,\dots,Z_r)</math> forme une base du noyau de ''a'' ;
* <math>\scriptstyle a(X_i,X_j)=0\,</math>, <math>\scriptstyle a(X_i,Y_j)=\delta_{ij}\,</math> et <math>\scriptstyle a(Y_i,Y_j)=0\,</math>.
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En géométrie symplectique, étant donné un espace vectoriel réel (de dimension finie) ''E'', il est courant de noter les coordonnées d'un point de l'espace <math> E\times E^*</math> sous la forme <math>v=(q,p)</math>. Les dernières coordonnées ''p'' sont pensées comme l'impulsion, les premières ''q'' comme la position. L'espace <math> E\times E^*</math> est alors muni de la forme symplectique suivante :
<math>\omega_E(v_1,v_2)=p_1(q_2)-p_2(q_1)\,</math>.
 
Si <math>\scriptstyle f:E\rightarrow F</math> est un isomorphisme linéaire, alors sa transposée <math>\scriptstyle f^T:F^*\rightarrow E^*</math> est elle-même inversible. De fait, <math>\scriptstyle (f,{f^T}^{-1})</math> est un isomorphisme linéaire <math>\scriptstyle E\times E^*\rightarrow F\times F^*</math>. Cet isomorphisme est symplectique pour les formes <math>\omega_E</math> et <math>\omega_F</math>.
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Si (''E'',''g'') est un espace vectoriel euclidien, le dual ''E''<sub>*</sub> s'identifie à ''E'' via l'isomorphisme linéaire <math>\scriptstyle E\rightarrow E^*</math> induit par la forme bilinéaire ''g''. La forme symplectique <math>\omega_E</math> définie sur <math>E\times E^*</math> induit alors une forme symplectique sur <math>E\times E</math> :
<math>\omega_g(v_1\oplus w_1,v_2\oplus w_2)=g(w_1,v_2)-g(v_1,w_2)\,</math>.
 
Toute isométrie <math>\scriptstyle T:(E,g)\rightarrow (F,g')</math> induit une transformation canonique : <math>\scriptstyle T\oplus T: (E\oplus E, \omega_g)\rightarrow (F\oplus F,\omega_{g'})</math>.
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