« Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes) » : différence entre les versions
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Ligne 11 :
Une fonction polynôme du second degré, ou trinôme, est donnée par une formule du type :
<math>f(x) = ax^2 + bx + c
où ''a'', ''b'' et ''c'' sont des coefficients et où ''a'' est non nul.}}
Ligne 18 :
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles peuvent être classées dans l'ensemble des fonctions polynômes du second degré ? Préciser leurs coefficients.
* <math>f_1(x) = 2x^2 + 3x + 1
* <math>f_2(x) = x^2 -2x + 2
* <math>f_3(x) = 2x + 1
* <math>f_4(x) = -x^3 + 2x -5
* <math>f_5(x) = x^2 + 3
* <math>f_6(x) = 3x^2 -x
{{Solution
Ligne 56 :
''Tracer dans un même repère orthonormé les paraboles représentatives des fonctions suivantes.''
* <math>f_1(x) = 2x^2 + 3x + 1
* <math>f_2(x) = x^2 -2x + 2
* <math>f_3(x) = -x^2 + 3
* <math>f_4(x) = -3x^2 -x
{{Solution
Ligne 116 :
''Calculer d'abord le discriminant puis les racines des trinômes suivants. Vérifier la cohérence des résultats avec les courbes tracées plus haut.''
* <math>f_1(x) = 2x^2 + 3x + 1
* <math>f_2(x) = x^2 -2x + 2
* <math>f_3(x) = -x^2 + 3
* <math>f_4(x) = -3x^2 -x
{{BDdebut|titre = Solution de <math>f_1</math>}}
Ligne 260 :
|
{| border="0"
| width="50"|<math>-\infty
| width="50" align="center"|
| align="center" width="50"|<math>-\frac{b}{2a}
| width="50" align="center"|
| align="right" width="50"|<math>+\infty
|}
|-----
Ligne 270 :
|
{| border="0"
|width="50"|<math>+\infty
|width="50" align="center"|
|width="50" align="center"|
|width="50" align="center"|
|width="50" align="right"|<math>+\infty
|-----
| width="50"|
Ligne 284 :
| width="50"|
| width="50" align="center"|
| width="50" align="center"|<math>\frac{4ac-b^2}{4a}
| width="50" align="center"|
| width="50" align="right"|
Ligne 295 :
|
{| border="0"
| width="50"|<math>-\infty
| width="50" align="center"|
| align="center" width="50"|<math>-\frac{b}{2a}
| width="50" align="center"|
| align="right" width="50"|<math>+\infty
|}
|-----
Ligne 307 :
|width="50"|
|width="50" align="center"|
|width="50" align="center"|<math>\frac{4ac-b^2}{4a}
|width="50" align="center"|
|width="50" align="right"|
Ligne 317 :
| width="50" align="right"|
|-----
| width="50"|<math>-\infty
| width="50" align="center"|
| width="50" align="center"|
| width="50" align="center"|
| width="50" align="right"|<math>-\infty
|}
|}
Ligne 328 :
'''Remarques''' :
* L'abscisse de l'extremum <math>-\frac{b}{2a}
* La valeur de l'extremum <math>\frac{4ac-b^2}{4a}
== Construire le tableau de variations d'une fonction trinôme ==
Ligne 335 :
''Donner les tableaux de variations des fonctions suivantes. Vérifier la cohérence avec les courbes obtenues précédemment.''
* <math>f_1(x) = 2x^2 + 3x + 1
* <math>f_2(x) = x^2 -2x + 2
* <math>f_3(x) = -x^2 + 3
* <math>f_4(x) = -3x^2 -x
{{boîte déroulante|titre = Solution de <math>f_1</math>|contenu = Vos solutions sont bienvenues ! }}
Ligne 362 :
|
{| border="0"
| width="70"|<math>-\infty
| width="70" align="center"|
| align="center" width="70"|<math>\frac{-b}{2a}</math>
| width="70" align="center"|
| align="right" width="70"|<math>+\infty
|}
|-----
Ligne 373 :
{| border="0"
| width="70" align="right"|
| width="70" align="center"|<math>+
| width="70" align="center"|<math>0
| width="70" align="center"|<math>+
| width="70" align="left"|
|}
Ligne 385 :
|
{| border="0"
| width="70"|<math>-\infty
| width="70" align="center"|
| align="center" width="70"|<math>\frac{-b}{2a}</math>
| width="70" align="center"|
| align="right" width="70"|<math>+\infty
|}
|-----
Ligne 396 :
{| border="0"
| width="70" align="right"|
| width="70" align="center"|<math>-
| width="70" align="center"|<math>0
| width="70" align="center"|<math>-
| width="70" align="left"|
|}
Ligne 413 :
|
{| border="0"
| width="70"|<math>-\infty
| width="70" align="center"| <math>\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}</math>
| align="center" width="70"|
| width="70" align="center"| <math>\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}</math>
| align="right" width="70"|<math>+\infty
|}
|-----
Ligne 423 :
|
{| border="0"
| width="70" align="right"|<math>+
| width="70" align="center"|<math>0
| width="70" align="center"|<math>-
| width="70" align="center"|<math>0
| width="70" align="left"|<math>+
|}
|}
Ligne 436 :
|
{| border="0"
| width="70"|<math>-\infty
| width="70" align="center"| <math>\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}</math>
| align="center" width="70"|
| width="70" align="center"| <math>\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}</math>
| align="right" width="70"|<math>+\infty
|}
|-----
Ligne 446 :
|
{| border="0"
| width="70" align="right"|<math>-
| width="70" align="center"|<math>0
| width="70" align="center"|<math>+
| width="70" align="center"|<math>0
| width="70" align="left"|<math>-
|}
|}
Ligne 464 :
|
{| border="0"
| width="70"|<math>-\infty
| width="70" align="center"|
| align="center" width="70"|
| width="70" align="center"|
| align="right" width="70"|<math>+\infty
|}
|-----
Ligne 476 :
| width="70" align="right"|
| width="70" align="center"|
| width="70" align="center"|<math>+
| width="70" align="center"|
| width="70" align="left"|
Ligne 487 :
|
{| border="0"
| width="70"|<math>-\infty
| width="70" align="center"|
| align="center" width="70"|
| width="70" align="center"|
| align="right" width="70"|<math>+\infty
|}
|-----
Ligne 499 :
| width="70" align="right"|
| width="70" align="center"|
| width="70" align="center"|<math>-
| width="70" align="center"|
| width="70" align="left"|
Ligne 511 :
''Donner les tableaux de signe des fonctions suivantes. Vérifier la cohérence avec les courbes obtenues précédemment.''
* <math>f_1(x) = 2x^2 + 3x + 1
* <math>f_2(x) = x^2 -2x + 2
* <math>f_3(x) = -x^2 + 3
* <math>f_4(x) = -3x^2 -x
{{boîte déroulante|titre = Solution de <math>f_1</math>|contenu = Vos solutions sont bienvenues ! }}
Ligne 546 :
Quand un trinôme possède deux racines <math>x_1\ et\ x_2</math>, on peut le factoriser de la manière suivante :
<center><math> ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)
}}
</center>
Ligne 554 :
''Factoriser, lorsque c'est possible, les trinômes suivants.''
* <math>f_1(x) = 2x^2 + 3x + 1
* <math>f_2(x) = x^2 -2x + 2
* <math>f_3(x) = -x^2 + 3
* <math>f_4(x) = -3x^2 -x
{{boîte déroulante|titre = Solution de <math>f_1</math>|contenu = <math>2(x + \frac{1}{2})(x + 1)</math> }}
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