« Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2 » : différence entre les versions

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{{Solution
| contenu =
'''1.''' La relation de récurrence peut également s'écrire <math>\forall n \in \N,~a_{n+1}=-2a_n-4</math>. Il s'agit d'une suite récurrente d'ordre 1, de la forme <math>a_{n+1}=\alpha a_n+\beta~</math> avec <math>\alpha=-2\,</math> et <math>\beta=-4\,</math>
 
L'expression explicite de (a<sub>n</sub>) est alors : <math>\forall n \in \N,~a_n=\alpha^na_0+\beta \left ( \sum_{i=0}^{n-1} \alpha^i\right )</math>, c'est-à-dire en remplaçant :
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=== Partie 2 ===
Soit la suite définie par :
* <math>u_0 = u_1 = 1 \,</math> ;
* <math>5u_{n+2}-4u_{n+1}-u_n = 3\,</math>.
 
On définit également la suite (''v<sub>n</sub>''), solution de :
* <math>v_0 = 1, v_1 = -1\,</math> ;
* <math>\frac12 v_{n+1} - v_n = \frac23 \left( v_{n+2} - 5 \right)\,</math>
 
On pose enfin la suite définie par :
<math>w_n = \frac{u_n - v_n}{u_n + v_n}\,</math>
 
Répondez aux questions suivantes :
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| titre = Calcul de (u<sub>n</sub>)
| contenu =
* On commence par résoudre l'«équation homogène associée à (u<sub>n</sub>)» : <math>5u_{n+2}-4u_{n+1}-u_n=0\,</math>.
* L'équation caractéristique associée est <math>5X^2-4X-1=0\,</math>.
* Le discriminant de ce polynôme veut <math>\Delta=16-4~(-1)~5=36</math> donc le polynôme admet deux racines réelles <math>r_1=1\,</math> et <math>r_2=-\frac15</math>.
* L'ensemble des solutions de l'«équation homogène associée à (u<sub>n</sub>)» est alors constitué des suites de la forme <math>\left \{\forall n \in \N,~s_n=\alpha + \beta \left ( -\frac15 \right )^n/ (\alpha,\beta) \in \R^2 \right \}</math>
* On cherche une solution particulière de l'équation de récurrence originale. On pose pour cela <math>P(x)=5X^2-4X-1\,</math>.
** On a P(1)=0. On étudie donc <math>P'(X)=10X-4\,</math>
** <math>P'(1) \not =0</math> donc la suite définie par <math>\forall n \in \N,~\sigma_n=\frac n2</math> est solution particulière de l'équation de récurrence initiale.
* L'ensemble des solutions de l'équation de récurrence est alors constitué des suites de la forme <math>\left \{\forall n \in \N,~s_n=\alpha + \beta \left ( -\frac15 \right )^n+\frac n2/(\alpha,\beta) \in \R^2 \right \}</math>
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| titre = Calcul de (v<sub>n</sub>)
| contenu =
* L'équation de récurrence vérifiée par (v<sub>n</sub>) peut se réécrire <math>4v_{n+2}-3v_{n+1}+6v_n=20\,</math>.
* On commence par résoudre l'«équation homogène associée à (v<sub>n</sub>)» : <math>4v_{n+2}-3v_{n+1}+6v_n=0\,</math>.
* L'équation caractéristique associée est <math>4X^2-3X+6=0\,</math>.
* Le discriminant de ce polynôme veut <math>\Delta=9-4.4.6=-87\,</math> donc le polynôme admet deux racines complexes conjuguées <math>r_1=\frac{3-i\sqrt{87}}8</math> et <math>r_2=\frac{3+i\sqrt{87}}8</math>, toutes deux de module <math>\rho=\left | \frac{3+i\sqrt{87}}8\right |=\frac{\sqrt6}2</math> et d'argument (au signe près) <math>\theta=\arctan \left ( \frac{\sqrt{87}}3 \right)</math>
* L'ensemble des solutions de l'«équation homogène associée à (v<sub>n</sub>)» est alors <math>\left \{\forall n \in \N,~s_n=\rho^n (A \cos(n\theta)+B\sin(n\theta))/(A,B)\in\R^2\right \}</math>
* On cherche une solution particulière de l'équation de récurrence originale. On pose pour cela <math>P(X)=4X^2-3X+6\,</math>. On a P(1)=7 donc la suite définie par <math>\forall n \in \N,~\sigma_n=\frac{20}7</math> est solution particulière de l'équation de récurrence initiale.
* L'ensemble des solutions de l'équation de récurrence est alors <math>\left \{\forall n \in \N,~s_n=\rho^n (A \cos(n\theta)+B\sin(n\theta))+\frac{20}7/(A,B)\in\R^2\right \}</math>
* On utilise alors les conditions initiales pour trouver l'expression de v<sub>n</sub> en trouvant A et B: