« Fonction logarithme/Exercices/Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle » : différence entre les versions

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</math>
 
'''1.''' Calculer <math>g '\,</math>
 
'''2.''' Étudier les variations de <math>g\,</math>.
 
'''3.''' Étudier la limite de <math>g\,</math> en <math>-1\,</math>.
 
'''4.''' Étudier la limite de <math>g\,</math> en <math>+\infty</math>
 
'''5.''' Tracer la courbe représentative de <math>g\,</math>.
 
'''6.''' Démontrer que <math>g\,</math> est solution de l'équation différentielle <math>(E)~:~(1+x)~y '+2y=\ln(1+x)</math>
 
 
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{{Encadre|contenu=Finalement, pour tout <math>x \in ]-1;+\infty[, g'(x)=\frac 1{2+2x}</math>}}
 
'''2.''' Pour tout <math>x\in ]-1;+\infty[,~2+2x>0</math>, donc sur l'intervalle de définition, la fonction <math>g'\,</math> est strictement positive. Par conséquent : {{Encadre|contenu=''g'' est une fonction strictement croissante.}}
 
'''3.''' <math>\lim_{t\rightarrow -1^+} t+1 = 0^+</math> et <math>\lim_{t\rightarrow0^+}\ln(t)=-\infty</math>