« Fonction logarithme/Dérivée de ln(u) » : différence entre les versions
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Ligne 11 :
On considère des fonctions de la forme :
<math>\ln(u)
où ''u'' est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle ''I''. Par exemple, la fonction ''ƒ'' définie par :
Ligne 20 :
* et de la fonction logarithme népérien.
Or, la fonction ln n'est définie que sur <math>]0;+\infty[</math>. Pour que ''f'' soit définie en <math>x\in\R</math>, il faut et il suffit que <math>u(x)>0
Le domaine de définition de ''ƒ'' est alors <math>I=\left]-\frac12;+\infty\right[</math>
Pour calculer ''ƒ''', on utilise la formule
:pour tout <math>x\in I,~f'(x)=a\cdot f'(ax+b)
D'où l'expression de la dérivée de ''ƒ'' :
:pour tout <math>x\in I,~f'(x)=2\cdot\frac1{2x+1}=\frac2{2x+1}</math>
Ici, <math>u'(x) = a
{{Théorème
Ligne 42 :
Sans se préoccuper de l’intervalle ''I'', dériver les fonctions ''ƒ'' suivantes :
'''1.''' <math>f(x)=\ln(x^2+1)
:* <math>u(x)=\ldots</math>
:* <math>u'(x)=\ldots</math>
:* <math>f'(x)=\ldots</math>
'''2.''' <math>f(x)=\ln(2x^3+1)
'''3.''' <math>f(x)=\ln(x^2+2x+1)
'''4.''' <math>f(x)=\ln((x+1)^2)
'''5.''' <math>f(x)=\ln\left(\frac{x+2}{4x-2}\right)</math>
'''6.''' <math>f(x)=\ln(x+2)-\ln(4x-2)
'''7.''' <math>f(x)=-3\ln(5x^2+3)
'''8.''' <math>f(x)=-3x\cdot\ln(5x^2+3)</math>
Ligne 62 :
{{Solution
| contenu =
'''1.''' <math>f(x)=\ln(x^2+1)
* <math>u(x)=x^2+1
* <math>u'(x)=2x
* <math>f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}</math>
'''2.''' <math>f(x)=\ln(2x^3+1)
* <math>u(x)=2x^3+1
* <math>u'(x)=6x^2
* <math>f'(x)=\frac{6x^2}{2x^3+1}</math>
'''3.''' <math>f(x)=\ln(x^2+2x+1)
* <math>u(x)=x^2+2x+1
* <math>u'(x)=2x+2
* <math>f'(x)=\frac{2(x+1)}{(x+1)^2}=\frac2{x+1}</math>
'''4.''' <math>f(x)=\ln((x+1)^2)=2\ln(x+1)
* <math>u(x)=x+1
* <math>u'(x)=1
* <math>f'(x)=\frac2{x+1}</math>
Ligne 99 :
'''6.''' <math>f(x)=\ln(x+2)-\ln(4x-2)=\ln(u(x))-\ln(v(x))
* <math>u(x)=x+2
* <math>u'(x)=1
* <math>v(x)=4x-2
* <math>v'(x)=4
<math>\begin{align}f'(x)&=\frac{u'(x)}{u(x)}-\frac{v'(x)}{v(x)}\\
Ligne 112 :
'''7.''' <math>f(x)=-3\ln(5x^2+3)
* <math>u(x)=5x^2+3
* <math>u'(x)=10x
* <math>f'(x)=\frac{-30x}{5x^2+3}</math>
'''8.''' <math>f(x)=-3x\cdot\ln(5x^2+3)=u(x)\cdot v(x)
<math>\begin{align}
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