« Fonction logarithme/Dérivée de ln(u) » : différence entre les versions

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On considère des fonctions de la forme :
 
<math>\ln(u)\,</math>
 
où ''u'' est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle ''I''. Par exemple, la fonction ''ƒ'' définie par :
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* et de la fonction logarithme népérien.
 
Or, la fonction ln n'est définie que sur <math>]0;+\infty[</math>. Pour que ''f'' soit définie en <math>x\in\R</math>, il faut et il suffit que <math>u(x)>0\,</math>, c'est-à-dire <math>x>-\frac12</math>.
 
Le domaine de définition de ''ƒ'' est alors <math>I=\left]-\frac12;+\infty\right[</math>
 
Pour calculer ''ƒ''', on utilise la formule
:pour tout <math>x\in I,~f'(x)=a\cdot f'(ax+b)\,</math>
 
D'où l'expression de la dérivée de ''ƒ'' :
:pour tout <math>x\in I,~f'(x)=2\cdot\frac1{2x+1}=\frac2{2x+1}</math>
 
Ici, <math>u'(x) = a\,</math>, on généralise ce procédé au cas où ''u'' n’est pas forcément affine :
 
{{Théorème
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Sans se préoccuper de l’intervalle ''I'', dériver les fonctions ''ƒ'' suivantes :
 
'''1.''' <math>f(x)=\ln(x^2+1)\,</math>
:* <math>u(x)=\ldots</math>
:* <math>u'(x)=\ldots</math>
:* <math>f'(x)=\ldots</math>
'''2.''' <math>f(x)=\ln(2x^3+1)\,</math>
 
'''3.''' <math>f(x)=\ln(x^2+2x+1)\,</math>
 
'''4.''' <math>f(x)=\ln((x+1)^2)\,</math>
 
'''5.''' <math>f(x)=\ln\left(\frac{x+2}{4x-2}\right)</math>
 
'''6.''' <math>f(x)=\ln(x+2)-\ln(4x-2)\,</math>
 
'''7.''' <math>f(x)=-3\ln(5x^2+3)\,</math>
 
'''8.''' <math>f(x)=-3x\cdot\ln(5x^2+3)</math>
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{{Solution
| contenu =
'''1.''' <math>f(x)=\ln(x^2+1)\,</math>
* <math>u(x)=x^2+1\,</math>
* <math>u'(x)=2x\,</math>
* <math>f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}</math>
 
 
'''2.''' <math>f(x)=\ln(2x^3+1)\,</math>
* <math>u(x)=2x^3+1\,</math>
* <math>u'(x)=6x^2\,</math>
* <math>f'(x)=\frac{6x^2}{2x^3+1}</math>
 
 
'''3.''' <math>f(x)=\ln(x^2+2x+1)\,</math>
* <math>u(x)=x^2+2x+1\,</math>
* <math>u'(x)=2x+2\,</math>
* <math>f'(x)=\frac{2(x+1)}{(x+1)^2}=\frac2{x+1}</math>
 
 
'''4.''' <math>f(x)=\ln((x+1)^2)=2\ln(x+1)\,</math>
* <math>u(x)=x+1\,</math>
* <math>u'(x)=1\,</math>
* <math>f'(x)=\frac2{x+1}</math>
 
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'''6.''' <math>f(x)=\ln(x+2)-\ln(4x-2)=\ln(u(x))-\ln(v(x))\,</math>
* <math>u(x)=x+2\,</math>
* <math>u'(x)=1\,</math>
* <math>v(x)=4x-2\,</math>
* <math>v'(x)=4\,</math>
 
<math>\begin{align}f'(x)&=\frac{u'(x)}{u(x)}-\frac{v'(x)}{v(x)}\\
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'''7.''' <math>f(x)=-3\ln(5x^2+3)\,</math>
* <math>u(x)=5x^2+3\,</math>
* <math>u'(x)=10x\,</math>
* <math>f'(x)=\frac{-30x}{5x^2+3}</math>
 
 
'''8.''' <math>f(x)=-3x\cdot\ln(5x^2+3)=u(x)\cdot v(x)\,</math>
 
<math>\begin{align}