« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions

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Robot : Remplacement de texte automatisé (-\,</math> +</math>)
m (Robot : Remplacement de texte automatisé (-</[Bb][Rr] ?> +<br />​))
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On a :
 
<math>\phi'(x)=e^x-x\,</math>
 
et
 
<math>\phi''(x)=e^x-1\,</math>
 
Sur <math>[0;+\infty[</math> ,comme <math>e^x\geq 1</math> donc <math>\phi''(x)\geq 0</math>, donc <math>\phi'</math> est croissante sur <math>[0;+\infty[</math>.
 
Or <math>\phi'(0)=1\,</math> donc <math>\phi'(x)\geq 0</math> sur <math>[0;+\infty[</math>, donc <math>\phi</math> est croissante sur <math>[0;+\infty[</math>.
 
Or <math>\phi(0)=1\,</math> donc <math>\phi(x)\geq 0</math> sur <math>[0;+\infty[</math>
 
On en déduit avec l'expression de <math>\phi(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2</math>, que sur <math>[0;+\infty[</math> :
donc :
 
<math>\frac{e^x}{x}\geq \frac{1}{2}x\,</math>.
 
Or <math>\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}x=+\infty\,</math> donc par comparaison, <math>\lim_{x \to +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty\,</math>}}
 
== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en - ∞ ==
 
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}</math>
{{Solution|contenu=On pose <math>X=x^2\,</math>.
* Pour tout <math>x\in\R,~\frac x{e^{(x^2)}}=\frac{\sqrt X}{e^X}</math>
* On sait que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}=+\infty</math>
 
* <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x</math>
{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R</math>, on pose <math>X=-x\,</math>.
* Soit <math>x\in\R</math>.
* On a
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