« Fonction logarithme/Exercices/Utilisation des propriétés du logarithme » : différence entre les versions
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Ligne 40 :
:'''b.''' <math>\ln(0,0001)=\ln(10^{-4})=-4~\ln(10)</math>
:'''c.''' <math>\ln \left (\frac{49}{12} \right )=\ln(49)-\ln(12)=\ln(7^2)-\ln(3 \times 4)=2~\ln(7)-\ln(3)-\ln(4)=2~\ln(7)-\ln(3)-\ln(2^2)=2~(\ln(7)-\ln(2))-\ln(3)</math>
:'''d.''' <math>\ln(1024)=\ln(2^{10})=10\ln(2)
:'''e.''' <math>\ln(0,125)=\ln\left(\frac18\right)=-\ln(8)=-\ln(2^3)=-3\ln(2)</math>
'''2. a.''' <math>3\ln(x^2)=6\ln(x)
:'''b.''' <math>\ln(x^2+2x+1)=\ln((x+1)^2)=2~\ln(x+1)</math>
:'''c.''' <math>\ln(2x+2)-\ln(x+1)=\ln(2(x+1))-\ln(x+1)=\ln(2)+\ln(x+1)-\ln(x+1)=~\ln(2)</math>
Ligne 53 :
'''1.''' Comparer les nombres suivants sans calculer de valeurs approchées.
:'''a.''' <math>\ln(20)
:'''b.''' <math>\ln(3)
:'''c.''' Quel est le plus petit entier n tel que <math>3^n > 6666666666
'''2.''' Comparer les expressions algébriques suivantes.
:'''a.''' <math>\ln(x^2+x+2)
:'''b.''' <math>\ln(x^2 + 1)
''Piste de départ'' : Il faut remarquer qu'à l'intérieur des <math>\ln
{{Solution
Ligne 80 :
'''c.''' On rappelle que la fonction logarithme est strictement croissante, ainsi, la relation :
<math>3^n > 6666666666
Est équivalente à la relation :
<math>\ln \left(3^n\right) > \ln \left(6666666666 \right)
Or on sait que <math>\ln \left(3^n\right) =n \ln 3</math>, par conséquent, on trouve :
Ligne 96 :
Une dernière précaution : ''n'' est un entier, la solution est donc la partie entière de cette quantité. Sa valeur est à peu près 20,5 donc la solution est finalement :
<math>n = 21
Vérifions que cette solution marche : <math>3^{21} = 10460353203 > 6666666666</math> ;
Ligne 103 :
'''2.''' '''a.''' Soit <math>x\in \R</math>
* <math>0=~\ln(1)</math>. On va donc chercher à '''comparer <math>x^2+x+2
* '''Étude du signe de <math>(x^2+x+2)-(1)
** On s'intéresse à l'équation <math>x^2+x+1=0
** Cette équation du second degré a pour discriminant <math>\Delta=1-4 \times 1 \times 1= -3</math>, donc n'admet pas de racine réelle et reste du signe du coefficient de plus haut degré.
** Finalement <math>(x^2+x+2)-1>0
* <math>\ln
{{Encadre|contenu=Finalement, pour tout <math>x \in \R, \ln(x^2+x+2)>0</math>}}
Ligne 120 :
* Donc <math>x^2+1 \geq 2x</math>
* <math>\ln
{{Encadre|contenu=Donc pour tout <math>x \in \R^{+*},~\ln(x^2+1) \geq \ln(2x)</math>}}}}
Ligne 126 :
== Ensemble de définition ==
Démontrer que l’expression <math>\ln(x^2-4x+5)
{{Solution
| contenu =
Il s'agit de vérifier que pour tout <math>x\in \R,~x^2-4x+5>0</math> :
* On cherche les solutions de l'équation <math>x^2-4x+5=~0</math> d'inconnue ''x''. Cette équation est du second degré, de discriminant <math>\Delta=4^2-4\times1\times 5=-4~<0</math>, donc n'admet aucune solution réelle.
* Le signe de <math>x^2-4x+5
{{Encadre|contenu=L’expression <math>\ln(x^2-4x+5)
<noinclude>{{Bas de page
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