« Fonction logarithme/Exercices/Étude d'une fonction comprenant un logarithme » : différence entre les versions
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Ligne 76 :
:'''a.''' En remarquant que <math>\frac{\ln(x)}x</math> est de la forme <math>u'(x)~u(x)</math>, déterminer une primitive de la fonction h, que l'on notera H.
:'''b.''' Calculer en <math>cm^2</math> l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe <math>\mathcal C</math>, la droite <math>\mathcal D</math> et les droites d'équations <math>x=\sqrt{e}</math> et <math>x=e
{{Solution|contenu='''1.''' '''a.''' *<math>\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}x =0</math>
Ligne 166 :
'''4.''' '''a.''' Séparons la fonction à intégrer en deux parties :
<math>h(x)=h_1(x)+h_2(x)
Avec :
<math>h_1(x)=-\frac12.\frac1x</math>
<math>h_2(x)=\frac{\ln x}x</math>
Comme une primitive sur I de <math>x \mapsto \frac 1x</math> est <math>x \mapsto \ln(x)</math>, on trouve une primitive <math>H_1
<math>H_1:x\mapsto-\frac12\ln(x)</math>
Ligne 185 :
Dans notre cas, <math>u=~\ln</math>. On a bien pour tout <math>x \in I,~\frac{\ln(x)}x=u'(x).u(x)=\frac12~(2~u'(x).u(x))</math>
Une primitive de <math>h_2
<math>H_2(x)=\frac12u(x)^2=\frac12 \ln(x)^2</math>
Ligne 199 :
L'aire que l'on cherche à calculer est l'aire rouge. On peut facilement calculer :
* (aire rouge+aire bleue), qui correspond à l'intégrale de la fonction f entre <math>\sqrt e</math> et <math>e
* aire bleue, qui correspond à l'intégrale de la fonction dont la courbe est <math>\mathcal D</math> entre <math>\sqrt e</math> et <math>e
L'aire rouge vaut ainsi, en unités de surface :
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