« Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et fonctions puissances » : différence entre les versions

== Fonctions de la forme ''u’ × uⁿ'' ==

=== Exercice 1 ===

 

:'''a.''' Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme <math>u^n~:~\cdots</math>

<math>G'(x)=\cdots</math>

:'''c.''' Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.

* u'(x)=1

* n=3

 

'''c.''' <math>f(x)=\frac{G'(x)}3</math>

 

=== Exercice 2 ===

 

* <math>G'(x)=\cdots</math>

* Comme lorsqu'on dérive, l'exposant est diminué de 1, il faut poser la fonction <math>G(x)=~(3x-2)^4</math>

* On pose <math>u:x \mapsto 3x-2</math>. Sa dérivée est <math>u':x \mapsto 3</math>

* On calcule la dérivée de G avec la formule <math>(u^n)'=n~u'u^{n-1}</math> (avec n=4) : <math>G'(x)=4 \times 3 \times (3x-2)^3=12~(3x-2)^3</math>

* On exprime f en fonction de G' : <math>f(x)=\frac{G'(x)}{12}</math>

 

=== Exercice 3 ===

 

* <math>G'(x)=\cdots</math>

* On cherche à utilier la formule <math>(u^n)'=n~u'u^{n-1}</math>. On essaye alors de poser :

** n=3 (car l'exposant va diminuer de 1 en dérivant et on veut un 2)

* La dérivée de G est alors <math>G'(x)=3~(2x)~(x^2-4)^2=6~x(x^2-4)^2</math>

* On relie f à G' en remarquant que <math>G'(x)=6~f(x)</math>