« Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Maintenance, remplacement: Résultat| → Encadre|contenu= (8) avec AWB |
m Robot : Remplacement de texte automatisé (-\,</math> +</math>) |
||
Ligne 35 :
Soit <math>x\in\mathcal D_1</math>
:Si '''ƒ est dérivable au point <math>ax+b
:Alors '''''g'' est dérivable au point ''x''''' et <math>g'(x) =a \cdot f'(ax+b)
Ligne 49 :
{{principe|titre=Méthode de dérivation|contenu=
* Faire le schéma décomposant les étapes fonction affine/fonction ƒ
* Identifier <math>ax+b
* Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de ƒ et calculer sa dérivée <math>f'
* Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de ''g'' et calculer sa dérivée <math>g'
}}
Ligne 71 :
Soit <math>x\in\R</math>
* D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b
* Dans notre cas, <math>\color{blue}ax+b=3x+2</math>
* Pour tout <math>X\in\R,~\color{red}f(X)=X^2</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\R</math> et, pour tout <math>X\in\R,~\color{magenta}f'(X)=2X</math>
* En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b
Ligne 110 :
Soit <math>x\in\R</math>
* D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b
* Dans notre cas, <math>ax+b=\cdots</math>
* Pour tout <math>X\in\cdots,~f(X)=\cdots</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\cdots</math> et, pour tout <math>X\in\cdots,~f'(X)=\cdots</math>
* En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b
Ligne 141 :
Soit <math>x\in\R</math>
* D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b
* Dans notre cas, <math>\color{blue}ax+b=-4x+5</math>
* Pour tout <math>X\in\R,~\color{red}f(X)=X^3</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\R</math> et, pour tout <math>X\in\R,~\color{magenta}f'(X)=3X^2</math>
* En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b
Ligne 162 :
=== Exemple 3 ===
* Soit g la fonction définie sur <math>\R</math> par <math>g:x\mapsto \left(\frac{1}{2}x+5\right)^4
Le schéma est
Ligne 181 :
Soit <math>x\in\R</math>
* D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b
* Dans notre cas, <math>ax+b=\cdots</math>
* Pour tout <math>X\in\cdots,~f(X)=\cdots</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\cdots</math> et, pour tout <math>X\in\cdots,~f'(X)=\cdots</math>
* En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b
Ligne 211 :
Soit <math>x\in\R</math>
* D'après le théorème, ''g'' est dérivable en ''x'' lorsque ƒ est dérivable en <math>ax+b
* Dans notre cas, <math>\color{blue}ax+b=\frac{1}{2}x+5</math>
* Pour tout <math>X\in\R,~\color{red}f(X)=X^4</math>, donc ƒ est dérivable sur <math>\R</math> et, pour tout <math>X\in\R,~\color{magenta}f'(X)=4X^3</math>
* En particulier, ƒ est dérivable en <math>ax+b
Ligne 237 :
{{Attention|Voici notre premier exemple de fonction qui n'est pas définie partout. Il faudra donc faire attention aux domaines de définition et de dérivabilité.}}
;On commence comme d'habitude par identifier les éléments <math>ax+b
Le schéma est
Ligne 291 :
<math>ax+b=2x+1
Ligne 375 :
<math>ax+b=5x+3
Étudier le signe de l'expression <math>5 x + 3
{{Solution
| |||