« Utilisateur:RM77/DMs » : différence entre les versions

#Que dire si <math>ab\ge 1\,</math> ?

On pose, pour tout réel a tel que <math>ab < 1</math>, <math>f(a) = \arctan{a} + \arctan{b} - \arctan{\left ( \frac{a+b}{1-ab}\right )}\,</math> . La fonction est continument dérivable sur l'intervalle (ouvert) défini par la condition sur le produit :<br />

Dans le plan affine euclidien orienté <math>\mathbb{R}^2</math> rapporté à son repère canonique <math>R=(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})</math>, on considère l'ellipse <math>(E)\,</math> d'équation :

et un point <math>M_0=(x_0,y_0)\,</math> extérieur à l'ellipse.

# Pour tout réel <math>m\,</math>, donner l'équation de la droite <math>(D_m)\,</math> passant par <math>M_0\,</math> et de coefficient directeur <math>m\,</math>.

# Montrer que <math>(D_m)\,</math> est tangente à <math>(E)\,</math> ssi <math>m\,</math> est solution d'une équation du second degré que l'on précisera.

# Montrer qu'il existe deux tangentes à <math>(E)\,</math> passant par <math>M_0\,</math> et perpendiculaires (entre elles) ssi <math>M_0\,</math> appartient à un cercle de centre <math>O\,</math> dont on donnera le rayon.

Dans le plan affine euclidien orienté <math>\mathbb{R}^2</math> rapporté à son repère canonique <math>R=(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})</math>, on considère une ellipse <math>(\Gamma)\,</math> donnée par son équation

:<math>f(x,y)=ax^2+y^2-c=0\,</math> avec <math>a>0, a\neq 1, c>0\,</math><br />

Et 4 points <math>A, B, C, D\,</math> deux à deux distincts de <math>(\Gamma)\,</math>.

# On suppose que <math>A, B, C, D\,</math> sont situés sur un même cercle <math>(C)\,</math> d'équation

#::<math>g(x,y)=x^2+y^2+2\alpha x+2\beta y+\gamma =0\,</math>

#:Pour tout réel <math>\lambda\,</math>, on note <math>(E_{\lambda})\,</math> la conique d'équation <math>f(x,y)-\lambda g(x,y) =0\,</math>.

## Montrer que les directions des axes de symétrie de <math>(E_{\lambda})\,</math> ne dépendent pas de <math>\lambda\,</math>.

## Montrer qu'il existe une valeur de <math>\lambda\,</math> telle que <math>(E_{\lambda})\,</math> est décomposée en droites.

## En déduire que les droites <math>(AB)\,</math> et <math>(CD)\,</math> ou les droites <math>(AC)\,</math> et <math>(BD)\,</math> ou les droites <math>(AD)\,</math> et <math>(BC)\,</math> ont des directions symétriques par rapport aux axes de <math>(\Gamma)\,</math>.

# On suppose que les droites <math>(AB)\,</math> et <math>(CD)\,</math> ont des directions symétriques par rapport aux axes de <math>(\Gamma)\,</math>. Montrer que <math>A, B, C, D\,</math> sont cocycliques.

On considère un ensemble <math>E\,</math> et deux parties <math>A\,</math> et <math>B\,</math> de <math>E\,</math>.<br />

On note <math>f\,</math> l'application de <math>\mathcal{P}(E)</math> dans <math>\mathcal{P}(A)\times \mathcal{P}(B)</math> définie par :<br />

:<math>f(X)=(A\cap X,B\cap X)\,</math> pour tout <math>X\in \mathcal{P}(E)</math>.

# Mq <math>f\,</math> est injective ssi <math>A\cup B=E</math>

# Mq <math>f\,</math> est surjective ssi <math>A\cap B=\varnothing</math>

# Donner une cns pour que <math>f\,</math> soit bijective et expliciter la réciproque de <math>f\,</math> dans ce cas.

On considère l'application <math>f\,</math> de <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> vers <math>\mathbb{N}</math> définie par :<br />

# Mq si <math>(p,q)\mathcal{R} (p',q')\mbox{ et }(p,q)\neq (p',q')</math> alors <math>f(p,q)<f(p',q')\,</math>

# Pour <math>p\in \mathbb{N}^*</math> et <math>q\in \mathbb{N}</math>, calculer <math>f(p-1,q+1)-f(p,q)\,</math> et <math>f(q+1,0)-f(0,q)\,</math>

# Mq <math>(\forall n\in \mathbb{N})(\exists (p,q)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N})/f(p,q)=n</math>. On pourra procéder par récurrence sur <math>n\,</math>.

# Mq <math>f\,</math> est bijective.

On note <math>E\,</math> un ensemble fini et <math>A_1, A_2, ..., A_n\,</math> <math>n</math> parties de <math>E\,</math>.

## Exprimer <math>Card(A_1\cup A_2\cup A_3)\,</math> en fonction des cardinaux de <math>A_1, A_2, A_3\,</math> et de leurs intersections.

## Faire de même pour <math>Card(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)\,</math>.

## Pour tout entier <math>k</math> tq <math>1\le k\le n</math>, on note : <math>a_k = \sum_{1\le i_1<i_2<...<i_k\le n} Card(A_{i_1}\cap A_{i_2} \cap ...\cap A_{i_k})</math> où la somme porte sur tous les ''k''-uplets <math>(i_1,i_2,...,i_k)\,</math> d'entiers tq : <math>1\le i_1<i_2<...<i_k\le n\,</math>. Mq <math>Card \bigcup_{i=1}^n A_i = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k</math>.

# On note <math>E\,</math> et <math>F\,</math> deux ensembles finis de cardinaux respectifs ''n'' et ''p'' avec <math>1\le n\le p\,</math>, <math>\mathcal{S}(F,E)</math> l'ensemble des surjections ''f'' de <math>F\,</math> vers <math>E\,</math>, et <math>\mathcal{S}_n^p</math> le cardinal de <math>\mathcal{S}(F,E)</math>.

## Mq <math>\binom{n}{1} \mathcal{S}_1^p + \binom{n}{2} \mathcal{S}_2^p + \binom{n}{3} \mathcal{S}_3^p + ... + \binom{n}{n} \mathcal{S}_n^p = n^p</math>. On pourra pour cela classer les applications ''f'' de <math>F\,</math> vers <math>E\,</math> suivant le cardinal de <math>f(F)\,</math>.

## Mq <math>\mathcal{S}_n^p = n(\mathcal{S}_n^{p-1} + \mathcal{S}_{n-1}^{p-1})</math>. On pourra pour cela choisir un élément ''a'' de <math>F\,</math> et étudier les images <math>f(a) \mbox{ et } f(F-\left \{a\right \})</math> par ''f''. En déduire la valeur de <math>\mathcal{S}_n^{n+1} \mbox{ et } \mathcal{S}_n^{n+2}</math>.

## Rédiger un programme Maple renvoyant le tableau à deux dimensions des <math>\mathcal{S}_n^p</math> pour <math>0\le n\le p\le q\,</math> où l'entier ''q'' est donné. Calculer la valeur de <math>\mathcal{S}_n^p</math> pour <math>0\le n\le p\le 5\,</math>. On présentera les résultats sous la forme d'un tableau à double entrée.

## Donner le nombre de ''n''-uplets <math>(A_1, A_2,...A_n)\,</math> de parties de <math>F\,</math> réalisant une ''partition'' de <math>F\,</math> en ''n'' parties i-e tq : aucun <math>A_i\,</math> n'est vide, la réunion des <math>A_i\,</math> est <math>F\,</math>, et les <math>A_i\,</math> sont deux à deux disjoints.