« Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre » : différence entre les versions
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Ligne 46 :
''Préciser les valeurs de <math>\quad a(x)</math>, <math>\quad b(x)</math> et <math>\quad c(x)</math> dans l'équation suivante et donner l'équation homogène associée.''
* <math>xf'(x)-3f(x)=\sin x
{{Solution
| contenu = <math>a(x)=x
<math>b(x)=-3
<math>c(x)=\sin(x)
Équation homogène associée : <math>xf'(x)-3f(x)=0
}}
Ligne 61 :
''sachant que la variable est <math>\quad t</math> et que la fonction inconnue est notée <math>\quad y</math>.''
* <math>t^2y'(t)-3y(t)=\sin(t)
{{Solution
| contenu = <math>a(t)=t^2
<math>b(t)=-3
<math>c(t)=\sin(t)
Équation homogène associée : <math>t^2y'(t)-3y(t)=0
}}
Ligne 145 :
''Résoudre les équations suivantes.''
* <math>y' = y
* <math>y' = -2y
* <math>y' -2y =3
* <math>5y' -2y =3
==== Exemples avec condition initiale ====
Ligne 157 :
''Résoudre les équations suivantes.''
* <math>y' = y
* <math>y' = -2y
* <math>y' -2y =3
* <math>5y' -2y =3
==== Exemple en physique : Vitesse terminale ====
Ligne 170 :
Les forces en présence sont, en projection sur l'axe vertical orienté vers le bas :
* Le poids : <math>P = ...
* Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse ''v'',
Le coefficient de frottement est noté ''h'', donc
<math>F = ...
Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
<math>...=...
C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.
Ligne 186 :
{{Solution
| contenu =
* Le poids : <math>P = m\times g
* Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse ''v'', le coefficient de frottement est noté ''h'', donc
<math>F = -h\times v
Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
<math>mv' = -hv + mg
}}
En supposant que l'objet est lâché sans vitesse initiale,
l'objectif est de donner la solution <math>v(t)
exprimant la vitesse du corps en fonction du temps ''t''.
Ligne 205 :
Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :
<math>...= 0
La solution est, d'après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :
<math>v(t) = ...
Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, c'est-à-dire <math>v(0) = ...
Cela donne pour la solution générale :
<math>...=...
La solution finale au problème est donc :
<math>v(t)=...
{{Solution
Ligne 241 :
'''Application numérique''' : Tracer ''v'' en fonction de ''t'' pour :
* <math>m=0,00416
* <math>h=3,4\times 10^{-6}
* <math>g=9,81
=== Remarques ===
Ligne 264 :
<math>S_0 = \left\{ A e^{-\Phi \left(x \right)} | A \in \mathbb C\right\}</math>
où <math>\Phi</math> est une primitive de : <math>x \mapsto \frac{b(x)}{a(x)}
{{Démonstration déroulante|contenu =
Ligne 296 :
<math>f\left(x\right) = A \left(x \right) \phi\left(x\right)</math>
On a donc, en dérivant :
<math>f' = A' \phi + A \phi'
Réinjectons cela dans l'équation différentielle :
<math>f' + \frac{b}{a}f = A' \phi + A \phi' + \frac{b}{a} A \phi = A' \phi + \left( \phi' + \frac{b}{a} \phi \right) A = A' \phi = -\frac{c}{a}</math>
Ligne 319 :
''Résoudre les équations suivantes.''
* <math>xy' -4y=0
* <math>x^2y'+y=0
* <math>xy' -2y =3x^2
* <math>5x^2y' -2y =3x
==== Exemple en physique ====
Ligne 346 :
On a ainsi l'équation :
<math>m(t)v'(t) + v(t)m'(t) = F_0 \sin(\omega_0 t)
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