« Fonctions circulaires/Exercices/Problème d'optimisation » : différence entre les versions

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m Robot : Remplacement de texte automatisé (-\,</math> +</math>)
Ligne 38 :
C'est un point de ce cercle et D un point tel que BD = 5 et <math>(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD})=\gamma=\frac{\pi}{6}</math>.
 
On note <math>\alpha\,</math> l'angle <math>(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})</math> et <math>\beta\,</math> l'angle <math>(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC})</math>
 
Le but du problème est de trouver <math>\beta</math> pour l'aire du triangle BCD soit maximum.
Ligne 48 :
On prend donc <math>\gamma=\frac{\pi}{6}</math> pour fixer les idées.
 
'''1.''' Donner la relation entre <math>\alpha\,</math> et <math>\beta\,</math>.
 
'''2.''' Exprimer BC en fonction de <math>\alpha\,</math>
 
'''3.''' Exprimer la hauteur h du triangle ABC issue de C en fonction de <math>\beta\,</math> et <math>\alpha\,</math>.
 
'''4.''' Exprimer la hauteur h du triangle ABC issue de C en fonction de <math>\beta\,</math> seul.
 
'''5.''' Dériver la fonction h par rapport à <math>\beta\,</math>.
 
'''6.''' Simplifier cette dérivée.
 
'''7.''' Dans quel intervalle <math>\beta\,</math> varie-t-il ?
 
'''8.''' Dresser le tableau de variations de h et conclure.
Ligne 70 :
:<math>\alpha+2(\beta+\frac{\pi}{6})=\pi</math>
 
De plus, <math>BC = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\,</math>
 
Soit h la hauteur du triangle ABC issue de C, on a alors :
 
:<math>h=2\sin(\beta)sin(\frac{\alpha}{2})\,</math>
 
::<math>=2\sin(\beta)\sin(\frac{\pi}{2}-(\gamma+\beta))\,</math>
 
::<math>=2\sin(\beta)cos(\frac{\pi}{6}+\beta)\,</math>
 
 
Il s'agit à présent d'étudier la fonction <math>h\,</math>.
 
Dérivons <math>h\,</math> par rapport à <math>\beta\,</math> :
 
:<math>h'(\beta)=2\cos(\beta)\cos(\frac{\pi}{6}+\beta)-2\sin(\beta)\sin(\frac{\pi}{6}+\beta)</math>
 
D'après la formule <math>\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\,</math>
 
:<math>h'(\beta)=2\cos(2\beta+\frac{\pi}{6})\,</math>
 
<math>\beta+\frac{\pi}{6}</math> varie dans <math>]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>
Ligne 95 :
donc <math>\beta</math> varie dans
 
:<math>]-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}]=]-\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{3}\,</math>.
 
finalement <math>2\beta+\frac{\pi}{6}\,</math> varie dans <math>]-\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]</math>.
 
Son cosinus s'annule donc pour :
 
:<math>2\beta+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\,</math>
 
ou
 
:<math>2\beta+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}\,</math>
 
c'est-à-dire :
 
:<math>\beta=\frac{\pi}{6}\,</math>
 
ou
 
:<math>\beta=-\frac{\pi}{3}\,</math>
 
}}
Ligne 133 :
:<math>y=\tan(\alpha)x-\frac{x^2}{5 (\cos \alpha)^2}</math>
 
'''1.''' Calculer l'abscisse <math>c\,</math> du point de chute du projectile en fonction de <math>\alpha</math>.
 
'''2.''' Calculer la dérivée <math>c'(\alpha)\,</math>
 
'''3.''' En déduire le tableau de variations de <math>c(\alpha)\,</math>.
 
'''4.''' Conclure.
Ligne 171 :
D et D' les épaules du gymnaste, E et E' ses mains.
 
On note <math>\beta\,</math> l'angle entre les cordes et la verticale,
 
<math>\alpha\,</math> l'angle entre la ligne d'épaules et l'horizontale.
 
On note g l'intensité de la pesanteur, m la masse du gymnaste,
Ligne 186 :
Le but du problème est d'étudier la force qui s'exerce
 
sur les mains du gymnaste en fonction de l'angle <math>\alpha\,</math>.
 
'''1.''' Exprimer T en fonction de m, g et <math>\beta</math>
 
'''2.''' En exprimant la hauteur du triangle AED issue de E, exprimer <math>\beta\,</math> en fonction de <math>\alpha\,</math>, r et L.
 
'''3.''' En utilisant la formule : <math>\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}</math>, exprimer T en fonction de <math>\alpha\,</math>
 
'''4.''' Tracer la fonction <math>T(\alpha)\,</math> et dresser son tableau de variation.
 
{{Solution}}