« Continuité et variations/Fonctions continues strictement monotones » : différence entre les versions

Si <math>f\,</math> est une fonction '''continue''' et '''strictement monotone''' sur un intervalle <math>I=[a;b]\,</math>,

alors pour tout réel <math>k\,</math> tel que : <math>f(a)\leq k\leq f(b)\,</math>,

l'équation <math>f(x)=k\,</math> admet une solution <math>c\,</math> '''unique''' dans <math>[a;b]\,</math>

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel <math>c\,</math> sur l'intervalle <math>I=[a;b]\,</math> tel que <math>f(c)=k\,</math>.

Montrons l'unicité de ce réel <math>c\,</math> sur <math>I=[a;b]\,</math>.

On va supposer l'existence de 2 réels distincts <math>c_1\,</math> et <math>c_2\,</math> avec <math>f(c_1) = f(c_2) = k\,</math> et <math> a \leq c_1 < c_2 \leq b </math>.

Comme la fonction <math>f\,</math> est supposée strictement croissante sur <math>[a;b] </math> alors <math> f(a) \leq f(c_1) < f(c_2) \leq f(b) </math>.

Donc <math> f(c_1) \neq f(c_2) </math> , on est en contradiction avec la supposition <math>f(c_1) = f(c_2) \,</math>.

Donc <math>c_1 = c_2 </math> ce qui prouve l'unicité de la solution de l'équation <math>f(c)=k\,</math> sur l'intervalle <math>I=[a;b]\,</math>.

Si <math>f\,</math> est une fonction '''continue''' et '''strictement monotone''' sur un intervalle <math>I=]a;b[\,</math>, ( a et b pouvant être infinis)

alors pour tout réel <math>k\,</math> tel que : <math>k\in ]\lim_{x \to a} f(x);\lim_{x \to b} f(x)[\,</math>,

l'équation <math>f(x)=k\,</math> admet une solution <math>c\,</math> '''unique''' dans <math>]a;b[\,</math>

* Les limites aux bornes (éventuellement infinies) existent nécessairement en vertu de la monotonie de <math>f\,</math>.