« Continuité et variations/Annexe/Sujet de bac S » : différence entre les versions

Soit <math>\phi\,</math> la fonction définie sur <math>\R</math> par <math>\phi(x)=(x^2+x+1)e^{-x}-1\,</math>

1.a) Déterminer les limites de <math>\phi\,</math> en <math>-\infty</math> et <math>+\infty</math>.

:b) Étudier le sens de variation de <math>\phi\,</math>, puis dresser son tableau de variations, sur <math>\R</math>.

2. Démontrer que l'équation <math>\phi(x)=0\,</math> admet deux solutions dans <math>\R</math>, dont l'une dans l'intervalle <math>[1;+\infty[</math>, qui sera notée <math>\alpha\,</math>.

3. En déduire le signe de <math>\phi(x)\,</math> sur <math>\R</math> et le présenter dans un tableau.

Soit <math>f\,</math> la fonction définie sur <math>[0;+\infty[</math> par :

<math>f(x) = 1-x^2\ e^{1-x^2}\,</math>

1. Démontrer que <math>f\,</math> est continue sur <math>[0;+\infty[</math>.

2. On admet que le tableau de variations de <math>f\,</math> est le suivant :

| width="50"|<math>0\,</math>

| align="center" width="50"|<math>1\,</math>

| align="right" width="50"|<math>+\infty\,</math>

|width="50"|<math>1\,</math>

|width="50" align="right"|<math>1\,</math>

| width="50" align="center"|<math>0\,</math>

<math>k\,</math> est un nombre réel donné. Déterminer en fonction de <math>k\,</math> le nombre de solutions

dans l'intervalle <math>[0;+\infty[\,</math> de l'équation <math>f(x)=k\,</math>.

3. <math>n\,</math> étant un entier naturel non nul, en déduire les valeurs de n

Soit <math>f\,</math> la fonction définie sur <math>[0;+\infty[</math> par :

<math>f(x) = 1-x^2\ e^{1-x^2}\,</math>

'''1'''. Démontrer que <math>f\,</math> est continue sur <math>[0;+\infty[</math>.

'''2'''. On admet que le tableau de variations de <math>f\,</math> est le suivant :

| width="50"|<math>0\,</math>

| align="center" width="50"|<math>1\,</math>

| align="right" width="50"|<math>+\infty\,</math>

|width="50"|<math>1\,</math>

|width="50" align="right"|<math>1\,</math>

| width="50" align="center"|<math>0\,</math>

pour tout ''x'' de <math>]0;1[\,</math>, <math>0<f(x)<1\,</math>

pour tout ''x'' de <math>]1;+\infty[\,</math>, <math>f(x)>0\,</math>

c) Démontrer que si <math>k\,</math> est un nombre réel de l'intervalle <math>]0,1[</math>

l'équation <math>f(x)=k\,</math> admet exactement 1 solution sur <math>[0;1]\,</math>

d) '''En admettant''' de plus que pour tout ''x'' de <math>]1;+\infty[\,</math>, <math>f(x)<1\,</math>,

démontrer que si <math>k\,</math> est un nombre réel de l'intervalle <math>]0,1[</math>

l'équation <math>f(x)=k\,</math> admet exactement 1 solution sur <math>[1;+\infty]\,</math>

dans l'intervalle <math>[0;+\infty[\,</math> de l'équation <math>f(x)=k\,</math>.

3. <math>n\,</math> étant un entier naturel non nul, en déduire les valeurs de n