« Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes » : différence entre les versions

Deux suites <math>(u_n)\,</math> et <math>(v_n)\,</math> sont '''adjacentes''' si et seulement si :

* <math>(u_n)\,</math> est croissante

* <math>(v_n)\,</math> est décroissante

Si les suites <math>(u_n)\,</math> et <math>(v_n)\,</math> sont adjacentes alors pour tout entier ''n'',

Soient <math>(u_n)\,</math> et <math>(v_n)\,</math> deux suites adjacentes,

on a pour tout <math>n\in\N\,</math>,

<math>u_0\leq u_n\leq v_n\leq v_0\,</math>

<math>(u_n)\,</math> est donc croissante et majorée par <math>v_0\,</math> donc <math>(u_n)\,</math> converge vers un réel <math>l\,</math>,

De même <math>(v_n)\,</math> est décroissante et minorée par <math>u_0\,</math> donc <math>(v_n)\,</math> converge vers un réel <math>l'\,</math>,

Mais <math>w_n=v_n-u_n\,</math> converge donc à la fois vers ''0'' (par définition des suites adjacentes)

et vers <math>l'-l\,</math> (théorème sur la limite d'une différence)

donc <math>l=l'\,</math>.