« Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du second degré » : différence entre les versions

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Ligne 10 :
== Exercice 1 ==
 
Soit la fonction <math>f\,</math> définie sur <math>\R</math> par pour tout <math>x\in\R,~f(x)=x^2-2x-3\,</math>
 
'''1.''' Déterminer la fonction dérivée <math>f'\,</math>.
'''2.''' Compléter en justifiant le tableau de signes de <math>f'\,</math> et le tableau de variations de <math>f\,</math>.
 
{| border="1" width="500"
Ligne 19 :
|
{| border="0"
| width="50"|<math>-\infty\,</math>
| width="50" align="center"|
| align="center" width="50"|
Ligne 25 :
|align="center" width="50"|
| width="50" align="center"|
| align="right" width="50"|<math>+\infty\,</math>
|}
|-----
| width="50"|Signe de <math>f'(x)\,</math>
|
{| border="0"
Ligne 40 :
|}
|-----
| width="50"|Variations de <math>f\,</math>
|
{| border="0"
Ligne 53 :
 
|}
'''3.''' Calculer la valeur du minimum de <math>f\,</math> sur <math>\R</math>
 
{{Solution
| contenu =
;1. Déterminer la fonction dérivée <math>f'\,</math>.
 
La fonction ƒ est dérivable sur <math>\R</math> et, pour tout <math>x\in\R,~f'(x)=2x-2</math>
 
;2. Compléter en justifiant le tableau de signes de <math>f'\,</math> et le tableau de variations de <math>f\,</math>.
 
* Pour tout <math>x\in]-\infty;1[,~f'(x)<0</math> donc ƒ est strictement décroissante sur l'intervalle <math>]-\infty;1[</math>
Ligne 75 :
</math>
 
;3. Calculer la valeur du minimum de <math>f\,</math> sur <math>\R</math>
 
D'après le tableau de variations, le minimum de ƒ est atteint au point d'abscisse 1 et vaut <math>f(1)=-4\,</math>}}
 
== Exercice 2 ==
Ligne 83 :
''Donner les tableaux de variations des fonctions suivantes sur <math>\R</math>.''
 
* <math>f_1:x\mapsto 2x^2+3x+1\,</math>
* <math>f_2:x\mapsto x^2-2x+2\,</math>
* <math>f_3:x\mapsto -x^2+3\,</math>
* <math>f_4:x\mapsto -3x^2-x\,</math>
 
 
{{Solution
| contenu =
* <math>f_1:x\mapsto 2x^2+3x+1\,</math>
 
<math>\begin{array}{c|ccccc|}
Ligne 106 :
 
----
* <math>f_2:x\mapsto x^2-2x+2\,</math>
 
<math>\begin{array}{c|ccccc|}
Ligne 120 :
 
----
* <math>f_3:x\mapsto -x^2+3\,</math>
 
<math>\begin{array}{c|ccccc|}
Ligne 134 :
 
----
* <math>f_4:x\mapsto -3x^2-x\,</math>
 
<math>\begin{array}{c|ccccc|}
Ligne 151 :
== Exercice 3 ==
 
Soit la fonction <math>f\,</math> définie sur <math>\R</math> par <math>f(x)=x^2-2x+3\,</math>
 
'''1.''' a) Déterminer la fonction dérivée <math>f'\,</math>.
 
:b) Étudier le signe de <math>f'(x)\,</math>
 
:c) Étudier les variations de <math>f</math> (On précisera le minimum).
 
'''2.''' a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de <math>f\,</math> au point d'abscisse ''2''.
 
:b) Quel erreur absolue commet-on si on utilise cette approximation affine de <math>f\,</math> pour <math>x=1,8\,</math> ?
 
:c) Quelle est l'erreur relative correspondante ? (en pourcentages)