« Fonctions d'une variable réelle/Convexité » : différence entre les versions

Soit <math>f : I \to \R\,</math> une fonction définie sur un intervalle <math>I\,</math> .<br />

La fonction <math>f\,</math> est dite '''convexe sur <math>I\,</math> ''', si, et seulement si :<br />

<math>\forall x,y \in I,\, \forall \lambda \in [0;1] \, , f(\lambda x + (1-\lambda) y) \le \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)\,</math>

'''Interprétation graphique :''' Cela signifie que, si <math>A(x,f(x))\,</math> et <math>B(y,f(y))\,</math> sont deux points de la courbe représentative de <math>f\,</math> , alors le segment <math>[AB]\,</math> est au-dessus de l'arc <math>\overset{{}_{\displaystyle\frown}}{AB}\,</math> de la courbe de <math>f\,</math> .

(Dans cette illsutration , <math>t\,</math> joue le rôle de <math>\lambda\,</math> ).

Soit <math>f\,</math> une fonction convexe sur un intervalle <math>I\,</math> et <math>a<b<c\,</math> dans <math>I\,</math> .<br />

<math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le\frac{f(c)-f(a)}{c-a}\le\frac{f(c)-f(b)}{c-b}\,</math>

Comme <math>b\in]a;c[\,</math> , cela signifie que :<math>\exist \lambda \in ]0;1[ |b = \lambda a +(1-\lambda)c\,</math>. Calculons <math>\lambda\,</math> :<br />

<math>b = c +\lambda (a-c) \Rightarrow \lambda =\frac{b-c}{a-c}\,</math> .<br />

Alors, puisque <math>f\,</math> est convexe, on a :<br />

<math>f(b) = f(\lambda a +(1-\lambda)c) \le \lambda f(a) + (1-\lambda)f(c)\,</math>, donc <br />

<math>f(b) \le \frac{b-c}{a-c} (f(a)-f(c)) + f(c) \Longrightarrow f(b)-f(c) \le \frac{b-c}{a-c} (f(a)-f(c))\,</math> d'où l'on tire l'inégalité de droite.<br /> Celle de gauche se démontre de la même manière.

Alors on peut montrer en utilisant l'inégalité des pentes que cette fonction est croissante en considérant les trois cas <math>x_0<x<y\,</math> , <math>x<x_0<y\,</math> , <math>x<y<x_0\,</math> .<br /> Elle admet donc une limite à gauche et à droite en <math>x_0\,</math> finies. Cela montre que <math>f\,</math> est dérivable à gauche et à droite mais cela implique aussi que <math>f\,</math> est continue<br /> (on démontre cette implication exactement de la même manière que l'implication <math>f\,</math> dérivable <math>\Rightarrow f\,</math> continue).

Soit <math>f\,</math> une fonction '''dérivable''' sur un intervalle <math>I\,</math> .<br />

<math>f\,</math> est convexe si sa dérivée <math>f'\,</math> est croissante sur <math>I\,</math> .

Soit <math>f\,</math> une fonction '''deux fois dérivable''' sur un intervalle <math>I\,</math>. Alors :

<math>f''\ge 0 \Rightarrow f \,\mbox{convexe}\,</math>