« Intégration de Riemann/Intégrale de Riemann » : différence entre les versions

Dans tout ce cours, <math>a < b\,</math> sont des réels.<br />

En fait, si <math>f\,</math> est une fonction continue et positive sur un intervalle <math>[a;b]\,</math>

et si <math>\mathcal C</math> est sa courbe représentative dans un repère, alors on veut que l’aire <math>\mathcal A\,</math> de la surface (grisée sur le dessin) délimitée par :

Une fonction <math>f : [a;b] \to \R\,</math> est dite '''en escalier''' si, et seulement si, il existe une subdivision de <math>[a;b]\,</math> adaptée à <math>f\,</math> , c'est-à-dire un ensemble de points (subdivision) de <math>[a;b]\,</math> tel que :<br />

* <math>a = a_1 < a_2 < \cdots < a_n = b \;\;(n \in \mathbb N)\,</math> ;

* <math>f\,</math> est constante sur chaque intervalle <math>[a_i;a_{i+1}] \, \forall i \in [1;n]\cap \mathbb N\,</math> .

'''Notation :''' On notera <math>\mathcal E([a;b])\,</math> l'ensemble des fonctions en escalier sur <math>[a;b]\,</math> .<br />

Si on la prend sur <math>[0;3]\,</math> , alors <math>(0;1;2;3)\,</math> est une subdivision adaptée à <math>E\,</math> sur <math>[0;3]\,</math> .<math>(0;2;3)\,</math> n'en est pas une car <math>E\,</math> n'est pas constante sur <math>[0;2]\,</math>.<br />

Soit <math>f \in \mathcal E([a;b])\,</math>.<br />

'''L'intégrale de la fonction <math>f\,</math> sur <math>[a;b]\,</math>''' est le '''nombre réel''' :<br />

| <math>\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \sum_{i=0}^{n-1} (a_{i+1} - a_i) f(a_i)\,</math>

'''Exemple :''' Pour la fonction partie entière, on a en choisissant la subdivision <math>(0;1;2;3)\,</math> :<br />

<math>\int_0^3 E(x)\mathrm{d}x = \sum_{i=0}^{4} (a_{i+1} - a_i) E(a_i) = 1 + 2 + 3 = 6\,</math> .

Une fonction <math>f : [a;b] \to \R\,</math> est dite '''continue par morceaux''' si, et seulement si, il existe une subdivision <math>a = a_1 < a_2 < \cdots < a_n = b \;\;(n \in \mathbb N)\,</math> de <math>[a;b]\,</math> telle que <math>f\,</math> soit continue sur chaque intervalle <math>]a_i;a_{i+1}[</math> et <math>f</math> admet une limite à gauche en <math>a_{i+1}</math> et une limite à droite en <math>a_i \, \forall i \in [1;n]\cap \mathbb N\,</math> .

'''Notation :''' On notera <math>\mathcal {CM}([a;b])\,</math> l'ensemble des fonctions continues par morceaux sur <math>[a;b]\,</math> .<br />

Soit <math>f\in \mathcal {CM}([a;b])\,</math> .<br />

<center>{{Encadre|contenu=<math>\forall \varepsilon >0 , \exist \psi,\varphi \in \mathcal E([a;b]) \;|\; \psi \le f \le \varphi \mathrm{\;et\;} \varphi - \psi \le \varepsilon\,</math>}}</center>

| contenu = On fait la preuve seulement pour <math>f\,</math> continue : dans le cas général, on se place sur chacun des intervalles où la fonction est continue et on applique le résultat démontré ici.<br />

<math>f\,</math> est continue sur l'intervalle fermé borné <math>[a;b]\,</math> donc elle y est uniformément continue d'après le Théorème de Heine. On a donc :<br />

<center><math>\forall \varepsilon >0 , \exist \delta_{\varepsilon}>0|\forall x,y \in [a;b] , |x-y|< \delta_{\varepsilon} \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\,</math></center><br />

Soit <math>\varepsilon>0\,</math> et soit <math>(a_1;a_2;\ldots;a_n)\,</math> une subdivision de <math>[a;b]\,</math> telle que <math>\forall i \in [1;n]\cap \mathbb N, \; a_{i+1}-a_i = \frac{b-a}{n} < \delta_{\varepsilon}\,</math> .<br />

On construit alors les fonctions <math>\psi,\varphi \in \mathcal E([a;b])\,</math> définies par :<br />

* <math>\psi(x) = m_i = \min_{x\in [a_i;a_{i+1}]}f(x)\,</math> ;<br />

* <math>\varphi(x) = M_i = \max_{x\in [a_i;a_{i+1}]}f(x)\,</math> .<br />

La continuité uniforme et la définition du minimum et du maximum (qui existent bien, puisque <math>f\,</math> est continue sur l'intervalle fermé borné <math>[a;b]\,</math>) permettent alors de conclure.

* <math>\mathcal E^- =\{\psi \in \mathcal E([a;b])\;|\;\psi \le f\}\,</math> et <math>\mathcal I^- = \left\{\int_a^b \psi(x)\mathrm{d}x \;| \;\psi \in \mathcal E^-\right\}\,</math>

* <math>\mathcal E^+ =\{\varphi \in \mathcal E([a;b])\;|\;\varphi \ge f\}\,</math> et <math>\mathcal I^+ = \left\{\int_a^b \varphi(x)\mathrm{d}x \;|\; \varphi \in \mathcal E^+\right\}\,</math>.<br />

La fonction <math>f\,</math> est dite '''intégrable au sens de Riemann''' si, et seulement si :<br />

| <math>\mathcal I = \inf \mathcal I^+ = \sup \mathcal I^-\,</math>

De plus, '''le nombre réel''' <math>\mathcal I\,</math> est '''l'intégrale de la fonction <math>f\,</math> sur <math>[a;b]\,</math> ''' :<br />

<center>{{Encadre|contenu=<math>\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \mathcal I\,</math>}}</center>

<center><math>\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^b f(t) \mathrm{d}t =\int_a^b f(u) \mathrm{d}u\,</math>.</center>

On fait la preuve seulement pour <math>f\,</math> continue : dans le cas général, on se place sur chacun des intervalles où la fonction est continue et on applique le résultat démontré ici.<br />

Il est clair que <math>\inf \mathcal I^+ \le \sup \mathcal I^-\,</math>, si ces nombres existent (cette inégalité vient de la définition même de <math>\mathcal I^+ \,</math> et <math>\mathcal I^- \,</math> ).<br />

D'après la propriété précédente, si <math>f\,</math> est continue sur <math>[a;b]\,</math> , alors il existe deux fonctions <math>\psi\,</math> et <math>\varphi\,</math> en escalier telles que (en fixant <math>\varepsilon>0\,</math>) <math>\psi \le f \le \varphi\,</math> et <math>\varphi-\psi<\varepsilon\,</math> .<br />

On peut montrer (ce sera fait dans le cours sur les propriétés de l'intégrale) que <math>\varphi-\psi<\varepsilon \Rightarrow \int_a^b \varphi(x)-\psi(x) \mathrm{d}x < \int_a^b \varepsilon \mathrm{d}x = \varepsilon(b-a)\,</math>. <br />

Mais comme cela est vrai '''pour tout''' <math>\varepsilon >0\,</math> , cela signifie par passage à la limite que les bornes inférieures et supérieures annoncées existent et qu'elles vérifient la propriété :<br />

<center><math>\inf \mathcal I^+ = \sup \mathcal I^-\,</math></center><br /> ce qui achève la démonstration.}}

<u>Remarque :</u> En fait, l'ensemble des fonctions Riemann-intégrables est plus vaste que l'ensemble des fonctions continues par morceaux et on ne peut le décrire précisément.<br /> Par exemple , la fonction <math>f : x \mapsto \begin{cases} 0, & \text{si } x \in \R-\mathbb Q \\ \frac{1}{q}, & \text{si } x = \frac{p}{q} \mathrm {\;avec\;}p\mathrm{\;et\;}q \mathrm{\;premiers \;entre \;eux} \end{cases}\,</math> est Riemann-intégrable sur <math>\R\,</math> , alors que la fonction <math>g : x \mapsto \begin{cases} 0, & \text{si } x \in \R-\mathbb Q \\ 1, & \text{si } x \in \mathbb Q \end{cases}\,</math> n'est pas Riemann-intégrable.