« Intégration de Riemann/Intégrale et primitives » : différence entre les versions

Soit <math>f\,</math> une fonction continue sur un intervalle <math>I\,</math> .<br />

La fonction <math>F\,</math> est une '''primitive''' de <math>f\,</math> sur l'intervalle <math>I\,</math> , si, et seulement si :<br />

<center>{{Encadre|contenu=<math>F'(x) = f(x) \,\forall x \in I\,</math>}}</center>}}

* La fonction <math>f:x \mapsto x^5-3x^2+7\pi\,</math> a pour primitive sur <math>\R\,</math> la fonction <math>F_1 : x \mapsto \frac{x^6}{6}-x^3+7\pi x\,</math>.

:Remarquons que <math>F_2 : x \mapsto \frac{x^6}{6}-x^3+7\pi x + 3\,</math> est aussi une primitive de <math>f\,</math>.

:Il suffit de calculer la dérivée de <math>F_2\,</math> pour s'en convaincre.

* Montrons que la fonction <math>F : x \mapsto x\ln x - x\,</math> est une primitive de <math>f : x \mapsto \ln x\,</math> .

:On calcule pour cela <math>F'\,</math> :

:<math>\forall x \in \R^*_+ F'(x) = 1\ln x + x\frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x = f(x)</math>, donc <math>F\,</math> est une primitive de <math>f\,</math>.

Soient <math>f\,</math> et <math>g\,</math> deux fonctions continues sur un intervalle <math>I\,</math> et <math>F\,</math> et <math>G\,</math> leurs primitives respectives sur <math>I\,</math> .Soit encore <math>\lambda \in \R\,</math>. <br />

* <math>F+G\,</math> est une primitive de <math>f+g\,</math> .

* <math>\lambda F\,</math> est une primitive de <math>\lambda f\,</math> .}}

<math>(F+G)' = F'+G' = f+g \mathrm{\;et\;} (\lambda F)' = \lambda F' = \lambda f\,</math> <br />

{{Attention|Avec_fond=oui|'''Attention !'''<math>FG\,</math> '''n'est pas''' une primitive de <math>fg\,</math> .<br />}}

'''Contre-exemple :''' Soient les fonctions <math>f : x \mapsto x+1\,</math> et <math>g : x \mapsto e^x\,</math> .

On montre facilement que <math>F:x\mapsto \frac{x^2}{2}+x\,</math> et <math>G:x\mapsto e^x\,</math> sont des primitives respectivement de <math>f\,</math> et <math>g\,</math> , mais pourtant :<br />

1/ <math>FG : x \mapsto (\frac{x^2}{2}+x)e^x\,</math> n'est pas une primitive de <math>fg\,</math> puisque <br/

><math>(FG)'(x) = (F'G+FG')(x) = (x+1)e^x+\left(\frac{x^2}{2}+x\right)e^x \ne fg(x) \,\forall x \in \R\,</math> ;<br />

2/ <math>\varphi :x \mapsto xe^x\,</math> est une primitive de <math>fg\,</math> car :<br />

<math>\varphi'(x) = xe^x+1\times e^x = (x+1)e^x = fg(x) \,\forall x\in \R\,</math> .

En fait, tout cela vient de la formule de dérivation d'un produit : <math>(fg)' = f'g+fg' \ne f'g'\,</math> .

{{Propriété|contenu = Soit <math>f\,</math> une fonction continue.

* Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : si <math>F\,</math> est une primitive de <math>f\,</math> , alors <math>\forall k \in \R , G : x \mapsto F(x)+k\,</math> est aussi une primitive de <math>f\,</math> .

* Soient <math> x_0,y_0 \in \R\,</math> fixés.<br />

Il existe une '''unique''' primitive de <math>f\,</math> telle que <math>F(x_0) = y_0\,</math> .}}

* Il est clair que si <math>F'=f\,</math> , alors <math>G' = F' = f\,</math> (la dérivée d'une fonction constante est nulle) donc que <math>G\,</math> est une autre primitive de <math>f\,</math> .

Soit <math>G\,</math> une primitive quelconque de <math>f\,</math> .(On montrera plus loin que toute fonction continue admet au moins une primitive).<br />

Alors en posant <math>F : x\mapsto G(x)-G(x_0)+y_0\,</math> , on peut vérifier facilement qu'on obtient une primitive de <math>f\,</math> telle que <math>F(x_0) = y_0\,</math>.<br />

Supposons que <math>F_1\,</math> est une autre primitive de <math>f\,</math> telle que <math>F_1(x_0) = y_0\,</math> .<br />

D'après le premier point, il existe une constante <math>k\in \R\,</math> telle que <math>F_1(x) = F(x) + k \forall x \in \R\,</math> .<br />

Comme <math>F_1(x_0) = F(x_0)\,</math> , on en déduit que <math>k = 0\,</math> et que <math>F_1 = F\,</math> , ce qui montre l'unicité.}}

Soient <math>a,b,C\,</math> des constantes et <math>k\,</math> un entier relatif.

| <math>{0}\,</math>

| <math>{C}\,</math>

| <math>{ax+b}\,</math>

| <math>x^n\,</math> (<math>\forall {n}\in \R-\{-1\}</math>)

| <math>\ln {x}+C\,</math>

| <math>\sin {x}\,</math>

| <math>-\cos {x}+C\,</math>

| <math>\cos {x}\,</math>

| <math>\sin {x}+C\,</math>

| <math>\tan {x}+C\,</math>

| <math>-\frac {1}{\sin^2{x}} \,</math>

| <math>\operatorname{cotan} {x}+C\,</math>

| <math>e^x\,</math>

| <math>e^x+C\,</math>

| <math>\ln {x}\,</math>

| <math>x\ln {x} - x + C\,</math>

Soit <math>f\,</math> une fonction continue sur un intervalle <math>[a;b](a,b\in \R)\,</math> .<br />

* La fonction <math>F : x \mapsto \int_a^x f(t)\mathrm{d}t\,</math> est '''l'unique primitive de <math>f\,</math> qui s'annule en <math>a\,</math> .'''

* On en déduit que pour toute primitive <math>F\,</math> de <math>f\,</math> :<br />

<center>{{Encadre|contenu=<math>\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)\,</math>}}</center>}}

* Dans la première partie du Théorème, la variable <math>x\,</math> est la "borne d'en haut" de l'intégrale : c'est pour cela qu'on parle parfois de "l'intégrale fonction de la borne d'en haut".

* Dans la deuxième partie du Théorème, la primitive <math>F\,</math> choisie est quelconque et ce n'est pas nécessairement celle donnée dans la première partie.

* Il est clair que <math>F\,</math> s'annule en <math>a\,</math> : <math>F(a) = \int_a^a f(t)\mathrm{d}t = 0\,</math> .<br />

Il faut montrer maintenant que <math>F\,</math> est bien une primitive de <math>f\,</math> , c'est-à-dire que <math>F'=f\,</math> ou encore (par [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité|définition de la dérivée]]) que <math>\lim_{x\to x_0} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = f(x_0) \,\forall x_0 \in \R\,</math> .<br />

donc : <math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} =\frac{1}{x-x_0}\left(\int_a^{x_0} f(t)\mathrm{d}t + \int_{x_0}^{x} f(t)\mathrm{d}t - \int_a^{x_0} f(t)\mathrm{d}t \right)\,</math> <br />

et finalement : <math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^{x} f(t)\mathrm{d}t\,</math> ,c'est-à-dire la valeur moyenne <math>\mu\,</math> de <math>f\,</math> entre <math>x_0\,</math> et <math>x\,</math> (ou <math>x\,</math> et <math>x_0\,</math> , selon leur ordre).<br />

Mais <math>f\,</math> est continue sur <math>[a;b]\,</math> et l'Inégalité de la moyenne montre que <math>\min_{t \in [x_0,x]} f(t) \le \mu \le \max_{t \in [x_0,x]} f(t)\,</math> , donc le [[Fonctions d'une variable réelle/Continuité|Théorème des Valeurs Intermédiaires]] assure qu'il existe <math>c_{x_0}\in [x_0;x]\,</math> tel que <math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \mu = f(c_{x_0})\,</math> .<br />

Comme <math>c_{x_0}\,</math> est compris entre <math>x_0\,</math> et <math>x\,</math> (ou <math>x\,</math> et <math>x_0\,</math>), le Théorème des Gendarmes assure que <math>\lim_{x\to x_0} c_{x_0} = x_0\,</math> et (par continuité de <math>f\,</math>) que <math>\lim_{x\to x_0} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0} f(c_{x_0}) = f(x_0)\,</math> : c'est précisément ce qu'il fallait démontrer.

* Soit <math>G\,</math> la primitive qui était désignée par <math>F\,</math> dans la première partie du Théorème.<br />

Alors <math>\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = G(b) = G(b) - G(a)\,</math> puisque <math>G(a) = 0\,</math> .<br />

Toute autre primitive <math>F\,</math> de <math>f\,</math> diffère de <math>G\,</math> par une constante <math>k\in \R\,</math> , donc <math>F(x) = G(x) + k \,\forall x \in [a;b]\,</math> et :<br />

<math>F(b)-F(a) = (G(b)+k)-(G(a)+k) = G(b)-G(a)= G(b) = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x\,</math>, ce qui est le résultat annoncé.}}

1/ <math>\int_0^1 x^2\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 =\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}\,</math><br />

2/ <math>\int_0^1 e^{2x} \mathrm{d}x = \left[\frac{1}{2}e^{2x}\right] = \frac{e^2-1}{2}\,</math><br /> .

Soit <math>f\,</math> une fonction définie sur un intervalle <math>I\,</math> admettant des primitives.<br />

On note <math>\int f(x)\mathrm dx\,</math>, l''''ensemble de toutes les primitives de <math>f\,</math> sur l'intervalle <math>I\,</math>'''.<br />

Donc, si <math>F\,</math> est une primitive de <math>f\,</math> sur <math>I\,</math> : <math>\int f(x)\mathrm dx = \{x\mapsto F(x)+k | k\in \R\}\,</math>.<br />

Par abus de langage, cette notation désigne aussi une primitive quelconque de <math>f\,</math> : '''il faut toutefois bien garder à l'esprit qu'il existe une infinité de primitives définies à une constante additive près'''.

Soient <math>u\,</math> et <math>v\,</math> deux fonctions de classe <math>\mathcal C^1\,</math> sur <math>[a;b]\,</math> .<br />

<center>{{Encadre|contenu=<math>\int_a^b u'(x)v(x)\mathrm{d}x = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\mathrm{d}x\,</math>}}</center>}}

<math>(uv)'=u'v+uv' \Rightarrow u'v = (uv)'-uv' \Rightarrow \int u'(x)v(x)\mathrm{d}x = \left[u(x)v(x)\right] - \int u(x)v'(x)\mathrm{d}x\,</math> , d'où le résultat.}}

1/ Calculer <math>\int xe^x \mathrm{d}x\,</math> .<br />

<math>u(x) = x \Rightarrow u'(x) =1\,</math><br />

<math>v'(x) = e^x \Rightarrow v(x) =e^x\,</math>.<br />

<center>{{Encadre|contenu=<math>\int xe^x \mathrm{d}x = xe^x -\int e^x\mathrm{d}x = (x-1)e^x + C \;(C\in \R)\,</math>}}</center>.<br />

Calculer <math>\int e^x \sin x \mathrm{d}x\,</math> .<br />

<math>u(x) = e^x \Rightarrow u'(x) = e^x\,</math><br />

<math>v'(x) = \sin x \Rightarrow v(x) = -\cos x\,</math>.<br />

<math>\int e^x \sin x \mathrm{d}x = -e^x \cos x +\int e^x \cos x\mathrm{d}x \,</math>.<br />

<math>u(x) = e^x \Rightarrow u'(x) = e^x\,</math><br />

<math>v'(x) = \cos x \Rightarrow v(x) = \sin x\,</math>.<br />

<math>\int e^x \cos x \mathrm{d}x = e^x \sin x -\int e^x \sin x\mathrm{d}x \,</math>. On est revenu à l'intégrale qu'on voulait calculer : le serpent se mord la queue ! Est-on réellement bloqué pour autant ?<br />

En fait, il suffit "d'injecter" le résultat obtenu pour <math>\int e^x \cos x \mathrm{d}x\,</math> dans le résultat obtenu dans la première intégration par parties ; on obtient :<br />

<math>\int e^x \sin x \mathrm{d}x = -e^x \cos x +{\color{Blue}\int e^x \cos x\mathrm{d}x} = -e^x\cos x + {\color{Blue}e^x \sin x - \int e^x \sin x\mathrm{d}x}\,</math>.<br />

Il suffit alors d'ajouter de chaque côté <math>\int e^x \sin x \mathrm{d}x\,</math> et on a :<br />

<math>2\int e^x \sin x \mathrm{d}x = -e^x\cos x + e^x \sin x + C ^;(C\in \R)\,</math>, d'où l'on tire : <br />

<center>{{Encadre|contenu=<math>\int e^x \sin x \mathrm{d}x = \frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2} + C \;(C\in \R)\,</math>}}</center>}}

3/ Calculer <math>\int \ln x \mathrm{d}x\,</math> .<br />

On ne connaît pas ''a priori'' de primitive de <math>x \mapsto \ln x\,</math> (et c'est bien ce qu'on cherche!).<br />

<math>u(x) = \ln x \Rightarrow u'(x) =\frac{1}{x}\,</math><br />

<math>v'(x) = 1 \Rightarrow v(x) = x\,</math>.<br />

(On a remarqué que <math>\ln x = 1\times \ln x\,</math> , tout simplement !)<br />

<math>\int \ln x \mathrm{d}x = x\ln x -\int x\frac{1}{x}\mathrm{d}x = x\ln x - x + C \;(C\in \R)\,</math>.

<center>{{Encadre|contenu=<math>\int \ln x \mathrm{d}x = x\ln x - x + C \;(C\in \R)\,</math>}}</center>

Soit <math>f\,</math> une fonction de classe <math>\mathcal C^1\,</math> sur <math>[a;b]\,</math> et <math>\varphi\,</math> une '''bijection de classe <math>\mathcal C^1\,</math> ''' telle que <math>\varphi(a) = \alpha\,</math> et <math>\varphi(b)=\beta\,</math>.<br />

<center>{{Encadre|contenu=<math>\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\mathrm{d}x = \int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm{d}t\,</math>}}</center>}}

<math>f'(x)=(f(\varphi(t))'=f'(\varphi(t))\varphi'(t)\,</math> , d'où le résultat par intégration.}}

<u>Remarque :</u> Une fonction <math>\varphi\,</math> bijective de classe <math>\mathcal C^1\,</math> dont la réciproque est alors de classe <math>\mathcal C^1\,</math> est appelée un '''<math>\mathcal C^1\,</math>-difféomorphisme.'''<br />

* poser <math>x = \varphi(t)\,</math> et donc <math>\mathrm{d}x = \varphi'(t)\mathrm{d}t\,</math> ;

* '''changer les bornes d'intégration''' : si <math>x=\alpha=\varphi(t)\,</math> , alors <math>t = a\,</math> et si <math>x=\beta=\varphi(t)\,</math> , alors <math>t=b\,</math> .<br />

'''1/''' <math>\int_1^2 \frac{x+2}{x^2+4x-1} = \int_4^{11} \frac{\mathrm{d}t}{2t} = \left[\frac{1}{2}\ln t\right]_4^{11} = \frac{\ln 11 - \ln 4}{2}\,</math> .<br />

On a fait le changement de variables <math>t = x^2+4x-1 = \varphi^{-1}(x)\,</math> et <math>\mathrm{d}t = 2x+4\,\mathrm{d}x = 2(x+2)\,\mathrm{d}x\,</math>.<br />

Pour les bornes :si <math>x = 1\,</math> , alors <math>t = 1^2+4\times 1 -1 =4\,</math> et si <math>x=2\,</math> , alors <math>t = 2^2+4\times 2-1 = 11\,</math>.<br />

'''2/''' <math>I=\int \frac{\mathrm{d}x}{1+\cos^2 x} = \int \frac{\mathrm{d}x}{2\cos^2 x+\sin^2 x} = \int\frac{\mathrm{d}x}{\cos^2 x(2+\tan^2 x)}\,</math> puisque <math>\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \,\forall x \in \R\,</math>.<br />

On pose <math>t = \tan x\,</math> donc <math>\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}x}{\cos^2 x}\,</math> .

Alors <math>I = \int \frac{\mathrm{d}t}{2+t^2} = \int \frac{\mathrm{d}t}{2(1+(\frac{t}{\sqrt 2})^2)} = \frac{\sqrt 2}{2}\int \frac{\mathrm{d}u}{1+u^2} = \frac{\sqrt 2}{2}\arctan u = \frac{\sqrt 2}{2}\arctan (\frac{\sqrt 2}{2}t) = \frac{\sqrt 2}{2}\arctan(\frac{\sqrt 2}{2}\tan x)\,</math> à une constante près.<br />

On a posé <math>u = \frac{t}{\sqrt 2}\,</math> et donc <math>\mathrm{d}t = \sqrt 2 \,\mathrm{d}u\,</math>.

<math>A(x) = \int \frac{ax+b}{(x^2+cx+d)^n}\mathrm{d}x\,</math> où <math> a,b,c,d\in\R | \delta = c^2-4d <0\,</math> et <math>n\in \mathbb N\,</math> .

<br />Pour calculer <math>A(x)\,</math> , il faut :<br />

<math>ax+b = \frac{a}{2}(2x+c)+b-\frac{ac}{2}\Rightarrow A(x) = \int \frac{ax+b}{(x^2+cx+d)^n}\mathrm{d}x = \int \frac{\frac{a}{2}(2x+c)+b-\frac{ac}{2}}{(x^2+cx+d)^n}\mathrm{d}x = \frac{a}{2}\int \frac{\mathrm{d}(x^2+cx+d)}{(x^2+cx+d)^n} + \left(b-\frac{ac}{2}\right)\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+cx+d)^n}\,</math>

La seule réelle difficulté qui est apparue est le calcul de <math>\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+cx+d)^n}\,</math>.C'est ce calcul que l'on va chercher maintenant à effectuer.<br />

'''2/ Remplacer <math>x^2+cx+d\,</math> par sa forme canonique :''' <br />

On obtient <math>x^2+cx+d = \left(x+\frac{c}{2}\right)^2 + d - \frac{c^2}{4} = t^2 + k^2 \mathrm{\;o\grave u\;} t = x+\frac{c}{2} \mathrm{\;et\;} k = \sqrt{d - \frac{c^2}{4}}\,</math>.<br />

On cherche à calculer <math>\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+cx+d)^n} = \int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+k^2)^n}\,</math><br />

'''3/ Calculer <math>\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+k^2)^n}\,</math> :'''<br />

* Si <math>n = 1\,</math> , alors on obtient <math>\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+k^2)} = \frac{1}{k}\operatorname{arctan}\left(\frac{t}{k}\right)\,</math>.<br />

* Si <math>n\ne 1\,</math>, alors on pose <math>u =\operatorname{arctan}(\frac{t}{k})\,</math> et on a (tous calculs faits...) :<br />

<math>\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+k^2)^n} = k^{1-2n}\int \cos ^{2n-2}u \;\mathrm{d}u\,</math> qu'on calcule par linéarisation avec les formules d'Euler.

Si l'élément différentiel <math>f(x)\mathrm{d}x\,</math> est inchangé lors de la transformation :<br />

* de <math>x\,</math> en <math>-x\,</math> , alors il faut effectuer le changement de variables <math>t = \cos x\,</math> ;

* de <math>x\,</math> en <math>\pi -x\,</math> , alors il faut effectuer le changement de variables <math>t = \sin x\,</math> ;

* de <math>x\,</math> en <math>\pi +x\,</math> , alors il faut effectuer le changement de variables <math>t = \tan x\,</math> .<br />

Sinon, il faut effectuer le changement de variables <math>t = \tan (\frac{x}{2})\,</math> .}}