« Polynôme/Arithmétique des polynômes » : différence entre les versions

<math>\mathbb K\,</math> désigne toujours un corps commutatif et <math>\mathbb K[X]\,</math> l'anneau des polynômes à coefficients dans <math>\mathbb K\,</math> .

:<math>\forall A,B \in \mathbb K[X] \times (\mathbb K[X]-\{0\}) , \exists ! (Q,R) \in (\mathbb K[X])^2 | A = BQ + R \mathrm{\;et\;} \deg R < \deg B\,</math>

<math>Q\,</math> est appelée '''quotient''' de <math>A\,</math> par <math>B\,</math> et <math>R\,</math> '''reste'''.

'''Exemple''' : Division de <math>X^4-X^3+X^2-X+8\,</math> par <math>X^2+3X+1\,</math>

* ''Étape 1'' : division de <math>X^4-X^3+X^2\,</math> par <math>X^2+3X+1\,</math> (quotient <math>X^2\,</math> , reste <math>-4X^3\,</math> )

Soient <math>A\,</math> et <math>B\,</math> deux polynômes.<br />

On dit que <math>B\,</math> '''divise''' <math>A\,</math> (ce qu'on note <math>B|A\,</math> ) s'il existe <math>P\in \mathbb K[X]\,</math> tel que <math>A = PB\,</math> :

:<math>B|A : \iff \exists P\in\mathbb K[X] | A = PB\,</math>.

Soient <math>A,B,C\in \mathbb K[X]\,</math> et <math>\lambda\in\mathbb K\,</math> .<br />

* <math>A|\lambda \iff A\mathrm{\;constant\;}\,</math>

* <math>A|B \mathrm{\;et\;} B|C \Rightarrow A|C\,</math> (''Transitivité'')

* <math>A|B \mathrm{\;et\;} A|C \Rightarrow A|BU+CV\;\forall U,V\in \mathbb K[X]\,</math>

* <math>\left(A|B \mathrm{\;et\;} B|A\right) \iff \left(\exist \lambda\in \mathbb K | A = \lambda B\right)\,</math> .

Les démonstrations se font comme dans <math>\mathbb Z\,</math> (voir le cours d'[[Arithmétique]]).

Soient <math>A,B\in \mathbb K[X]\,</math> .<br />

* Un '''PGCD (Plus Grand Diviseur Commun)''' de <math>A\,</math> et <math>B\,</math> est un polynôme <math>D\,</math> qui divise <math>A\,</math> et <math>B\,</math> et tel que tout diviseur commun à <math>A\,</math> et <math>B\,</math> divise <math>D\,</math> (c'est donc le "plus grand" au sens de la relation d'ordre "divise") .

* Un '''PPCM (Plus Petit Commun Multiple)''' de <math>A\,</math> et <math>B\,</math> est un polynôme <math>M\,</math> qui est divisible par <math>A\,</math> et <math>B\,</math> et tel que tout multiple commun à <math>A\,</math> et <math>B\,</math> soit divisible par <math>M\,</math> (c'est donc le "plus petit" au sens de la relation d'ordre "divise") .

* <math> P|Q \iff \operatorname{pgcd}(P;Q) = P \iff \operatorname{ppcm}(P;Q) = Q\,</math> .<br />

* Comme dans <math>\mathbb Z\,</math>, deux polynômes sont dits '''premiers entre eux''' si, et seulement si, leur PGCD vaut 1 (en fait, cela équivaut à dire que leur PGCD est un polynôme constant).

Il est le même que dans <math>\mathbb Z\,</math>. On établit le Lemme d'Euclide :

Soient <math>A,B\in \mathbb K[X]\,</math>. Alors <math>\forall P,Q\in\mathbb K[X]\,</math>, si <math>A = BP+Q\,</math> on a :

:<math>\operatorname{pgcd}(A;B) = \operatorname{pgcd}(B;Q)\,</math>.

Il faut montrer que l'ensemble <math>\mathcal D(A;B)\,</math> des diviseurs communs à <math>A\,</math> et <math>B\,</math> est égal à <math>\mathcal D(B;Q)\,</math>. On raisonne donc par implications successives.

<math>(\subset)\,</math> : Soit <math>C\in\mathcal D(A;B)\,</math>.

Alors <math>C|A\mathrm{\;et\;}C|B \Rightarrow C|Q = A-BP\,</math> d'où l'on tire que <math>C\in\mathcal D(B;Q)\,</math>.

<math>(\supset)\,</math> : Soit <math>C\in\mathcal D(B;Q)\,</math>.

Alors <math>C|B\mathrm{\;et\;}C|Q \Rightarrow C|A = BP+Q\,</math> d'où l'on tire que <math>C\in\mathcal D(A;B)\,</math>.

On a bien l'égalité <math>\mathcal D(A;B) = \mathcal D(B;Q)\,</math> : si ces ensembles sont égaux, alors leur plus grands éléments aussi, d'où le résultat.

Soient <math>(A,B)\in (\mathbb K[X])^{2}</math> tels que <math>\deg A>\deg B\,</math><br />

! Opération !! Reste <math>R\,</math> !! Commentaires

| on divise <math>A\,</math> par <math>B\,</math>

| <math>R_0\,</math>

| si <math>R_0\neq 0</math>, on divise <math>B\,</math> par <math>R_0\,</math>

| <math>R_1\,</math>

| si <math>R_n\neq 0</math>, on divise <math>R_{n-1}\,</math> par <math>R_n\,</math>

| <math>0\,</math>

| <math>pgcd(R_{n-1},R_n)=R_n\,</math>

Ces Théorèmes se démontrent comme dans <math>\mathbb Z\,</math> .

* <math>\forall A,B\in \mathbb K[X]\, , \exists U,V\in \mathbb K[X] | AU+BV = \operatorname{pgcd}(A,B)\,</math> .<br />

* <math>\operatorname{pgcd}(A;B) = 1 \iff \left(\exists U,V \in \mathbb K[X] | AU+BV = 1\right)\,</math>.

Soient <math>A,B,C\in \mathbb K[X]\,</math>.<br />

Si <math>A|BC\,</math> et <math>\operatorname{pgcd}(A;B) = 1\,</math> , alors <math>A|C\,</math> .

Soit <math>P\in \mathbb K[X]\,</math> non constant.

* Le polynôme <math>P\,</math> est dit '''irréductible''' si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et ceux de la forme <math>\lambda P (\mathrm{\;avec\;} \lambda\in \mathbb K)\,</math>.

* Le polynôme <math>P\,</math> est dit '''premier''' si :

On se permet ainsi de confondre les deux notions. La démonstration se fait comme dans <math>\mathbb Z\,</math> .

<math>\mathbb K[X]\,</math> est un anneau '''factoriel''' ; cela signifie que, comme dans <math>\mathbb Z\,</math> , tout polynôme non constant admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l'ordre des facteurs près.

<math>\mathbb K[X]\,</math> est un anneau '''principal''', ce qui signifie que tout idéal y est principal : plus précisément, si <math>I\,</math> est un idéal de <math>\mathbb K[X]\,</math> , alors :

:<math>\exists! P\in \mathbb K[X], I = (P) = \{PQ|Q\in\mathbb K[X]\}\,</math>.

Soit <math>I\ </math> un idéal de <math>\mathbb K[X]\,</math>.