« Polynôme/Dérivation formelle » : différence entre les versions

Soit <math>P = \sum_{k=0}^n a_k X^k \in \mathbb K[X]\,</math> .<br />

* La '''dérivée (formelle) de <math>P\,</math> ''' est le polynôme :<br />

<center>{{Encadre|contenu=<math>P' = \sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1} \,</math>}}</center>.<br />

* La '''dérivée p-ème de <math>P\,</math>''' (<math>p\in \mathbb N\,</math>) est définie par récurrence :<br />

<center>{{Encadre|contenu=<math>P^{(p+1)} = (P^{(p)})' \mathrm{\;et\;} P^{(0)} = P \,</math>}}</center>.

On remarquera que, si <math>\mathbb K\,</math> est un corps fini, cette notion peut donner lieu à des "bizarreries" (surtout en référence à l'Analyse) : par exemple, si <math>\mathbb K = \mathbb Z / 3\mathbb Z\,</math> et <math>P = X^3 - 1\,</math> , alors <math>P' = 3X^2 = 0\,</math> mais <math>P\,</math> n'est pas constant !

Soient <math>\alpha\in \mathbb K\,</math> et <math>P\in \mathbb K[X]\,</math> .<br />

| <math>P = \sum_{k=0}^n \frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!} (X-\alpha)^k \,</math>

En fait, dans les corps finis, il faut encore faire preuve de "méfiance", les coefficients <math>\frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}\,</math> n'étant pas toujours définis.