« Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude » : différence entre les versions
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Ligne 7 :
}}
Dans toute la suite, <math>(E,\|.\|)
== Définitions ==
Ligne 14 :
| titre = Définition : Suite de Cauchy
| contenu =
Une suite <math>(u_n)
<center>{{Encadre|contenu=<math>\forall \varepsilon > 0 ,\; \exist n_{\varepsilon} \in\N| \forall (n,p)\in\N^2 , n \ge n_{\varepsilon} \Rightarrow \|u_{n+p} - u_n\| < \varepsilon
}}
Voici une propriété vraie dans tout evn et qu'on démontre comme dans <math>\R
{{Propriété
Ligne 32 :
== Théorèmes ==
Dans tout ce paragraphe, <math>(E,\|.\|)
{{Théorème
| titre = Théorème des fermés emboîtés
| contenu =
Soit <math>(F_n)
Si : <br />
* <math>\forall n\in\N,\;F_{n+1} \subset F_n \mathrm{\;et\;} F_n\ne \varnothing
* <math>\lim_{n\to +\infty}\left(\sup_{x,y\in F_n} \|x-y\|\right)= 0
alors <center>{{Encadre|contenu=<math>\exist! x\in E\;|\; \bigcap_{n\in\N} F_n = \{x\}
}}
Ligne 49 :
| titre = Théorème : Critère de Cauchy pour les fonctions
| contenu =
Soient <math>E
<math>\lim_{x\to a}f(x)
<center>{{Encadre|contenu=<math>\forall \varepsilon > 0,\;\exist\delta_{\varepsilon} >0|\forall x,y\in A , \|x-y\| < \delta_{\varepsilon} \Rightarrow \|f(x)-f(y)\| < \varepsilon
}}
Ligne 59 :
| titre = Théorème du point fixe de Banach
| contenu =
Soient <math>E
Alors :<br />
* la fonction <math>f
* <math>\ell
<small><math>(1)</math> c'est-à-dire <math>k</math>-lipschitzienne avec <math>|k|<1</math></small>.
}}
Ligne 68 :
{{Démonstration déroulante
| contenu =
* '''Existence du point fixe :'''Puisque <math>f
<math>\|u_{n+1}-u_n\| = \|f(u_n) - f(u_{n-1})\| \le k \|u_n-u_{n-1}\|
<center>{{Encadre|contenu=<math>\|u_{n+1}-u_n\| \le k^n\|u_1-u_0\|
puis que :<br />
<math>\forall (n,p)\in\N^2
<math>\begin{align}\|u_{n+p} - u_n\| &\le \|u_{n+p}-u_{n+p-1}\| + \ldots + \|u_{n+1} - u_n\| \\
&\le \left(k^{n+p-1}+\ldots+k^n \right) \|u_1-u_0\| \\ &\le k^n \frac{1-k^p}{1-k} \|u_1-u_0\| \\&\le \frac{k^n}{1-k}\|u_1-u_0\| \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0\end{align}
donc <math>(u_n)
* '''Unicité du point fixe :''' Supposons que <math>x
<math>\|f(x)-f(y)\| \le k\|x-y\| < \|x-y\|
}}
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