« Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude » : différence entre les versions

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}}
 
Dans toute la suite, <math>(E,\|.\|)\,</math> est un espace vectoriel normé (evn).
 
== Définitions ==
| titre = Définition : Suite de Cauchy
| contenu =
Une suite <math>(u_n)\,</math> d'éléments de <math>E\,</math> est '''une suite de Cauchy''' si, et seulement si :<br />
<center>{{Encadre|contenu=<math>\forall \varepsilon > 0 ,\; \exist n_{\varepsilon} \in\N| \forall (n,p)\in\N^2 , n \ge n_{\varepsilon} \Rightarrow \|u_{n+p} - u_n\| < \varepsilon\,</math> }}</center>
}}
 
Voici une propriété vraie dans tout evn et qu'on démontre comme dans <math>\R\,</math> :
 
{{Propriété
 
== Théorèmes ==
Dans tout ce paragraphe, <math>(E,\|.\|)\,</math> est un espace de Banach (parfois appelé "Banach").
 
{{Théorème
| titre = Théorème des fermés emboîtés
| contenu =
Soit <math>(F_n)\,</math> une suite de fermés de <math>E\,</math> .<br />
Si : <br />
* <math>\forall n\in\N,\;F_{n+1} \subset F_n \mathrm{\;et\;} F_n\ne \varnothing\,</math>
* <math>\lim_{n\to +\infty}\left(\sup_{x,y\in F_n} \|x-y\|\right)= 0\,</math>
alors <center>{{Encadre|contenu=<math>\exist! x\in E\;|\; \bigcap_{n\in\N} F_n = \{x\}\,</math>}}</center>
}}
 
| titre = Théorème : Critère de Cauchy pour les fonctions
| contenu =
Soient <math>E\,</math> et <math>F\,</math> deux Banach, <math>f : A\subset E \to F\,</math> et <math>a\in \bar A\,</math>.<br />
<math>\lim_{x\to a}f(x)\,</math> existe dans <math>F\,</math> si, et seulement si : <br />
<center>{{Encadre|contenu=<math>\forall \varepsilon > 0,\;\exist\delta_{\varepsilon} >0|\forall x,y\in A , \|x-y\| < \delta_{\varepsilon} \Rightarrow \|f(x)-f(y)\| < \varepsilon\,</math>}}</center>
}}
 
| titre = Théorème du point fixe de Banach
| contenu =
Soient <math>E\,</math> un Banach et <math>f : E \to E\,</math> une application <math>k\,</math>-contractante<math>\,^{(1)}\,</math> .<br />
Alors :<br />
* la fonction <math>f\,</math> admet un unique point fixe <math>\ell\,</math> sur <math>E\,</math> (c'est-à-dire <math>\exist! \ell\in E\;|\;f(\ell) = \ell\,</math> )
* <math>\ell\,</math> est la limite de toute suite <math>(u_n)\,</math> de <math>E\,</math> définie par <math>u_0 \in E\,</math> et <math>u_{n+1} = f(u_n)\,</math> .<br />
<small><math>(1)</math> c'est-à-dire <math>k</math>-lipschitzienne avec <math>|k|<1</math></small>.
}}
{{Démonstration déroulante
| contenu =
* '''Existence du point fixe :'''Puisque <math>f\,</math> est <math>k\,</math>-contractante, on a donc :<br />
<math>\|u_{n+1}-u_n\| = \|f(u_n) - f(u_{n-1})\| \le k \|u_n-u_{n-1}\|\,</math> . On en déduit par une récurrence facile que :<br />
<center>{{Encadre|contenu=<math>\|u_{n+1}-u_n\| \le k^n\|u_1-u_0\|\,</math>}}</center><br />
puis que :<br />
<math>\forall (n,p)\in\N^2\,</math><br />
<math>\begin{align}\|u_{n+p} - u_n\| &\le \|u_{n+p}-u_{n+p-1}\| + \ldots + \|u_{n+1} - u_n\| \\
&\le \left(k^{n+p-1}+\ldots+k^n \right) \|u_1-u_0\| \\ &\le k^n \frac{1-k^p}{1-k} \|u_1-u_0\| \\&\le \frac{k^n}{1-k}\|u_1-u_0\| \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0\end{align}\,</math><br />
donc <math>(u_n)\,</math> est de Cauchy et converge vers <math>\ell\in E\,</math> . En passant à la limite dans <math>u_{n+1} = f(u_n)\,</math> , on obtient bien que <math>f(\ell) = \ell\,</math> et que <math>\ell\,</math> est un point fixe de <math>f\,</math> .
* '''Unicité du point fixe :''' Supposons que <math>x\,</math> et <math>y\,</math> soient deux points fixes de <math>f\,</math>. Alors :<br />
<math>\|f(x)-f(y)\| \le k\|x-y\| < \|x-y\|\,</math> (car <math>k<1\,</math>) , ce qui est absurde sauf si <math>x=y\,</math>.
}}
 
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