« Espace préhilbertien réel/Projecteurs orthogonaux » : différence entre les versions
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Ligne 16 :
{{Définition
| contenu = On appelle '''projecteur orthogonal sur F''' et on note <math>p_F
{{Propriété
Ligne 30 :
* <math>E=F\oplus F^\perp</math> donc
:<math>\begin{matrix} x&=&\underbrace{ p_F(x)}&+&\underbrace{ x-p_F(x) } \\ &&\in F&&\in F^\perp \end{matrix}</math>
:On applique le théorème de Pythagore : <math>||x||^2=||p_F(x)||^2+||x-p_F(x)||^2
:On a égalité ssi <math>||x-p_F(x)||^2=0
* <math>y=p_F(y)+y-p_F(y)
:<math>\langle p_F(x)|y\rangle = \langle p_F(x)|p_F(y)\rangle+\langle p_F(x)|y-p_F(y)\rangle=\langle p_F(x)|p_F(y)\rangle</math>
:<math>\langle x|p_F(y)\rangle = \langle p_F(x)|p_F(y)\rangle+\langle x-p_F(x)|p_F(y)\rangle=\langle p_F(x)|p_F(y)\rangle</math>}}
Ligne 53 :
| contenu = Soit <math>x\in E</math>
La '''distance de ''x'' à F''' vaut <math>d(x,F)=||x-p_F(x)||
* <math>d(x,F)^2=||x||^2-||p_F(x)||^2
* <math>p_F(x)
{{Démonstration déroulante}}
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