« Statique des fluides/Exercices/Nappe de pétrole » : différence entre les versions

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'''1.''' On calcule la masse de pétrole :
:<math> M_p = \rho_p d \pi R^2 \,</math>
 
Masse du volume d'eau déplacé :
:<math> M = \rho_{eau} ( d-h)\pi R^2 \,</math>
 
Poussée d'Archimède :
:<math> \rho_p d \pi R^2 = \rho_{eau} ( d-h) \pi R^2 \,</math>
 
:<math> h = d (1 - {\rho_p \over \rho_{eau}}) \,</math>
 
On trouve :
:<math> h = 5cm \,</math>
 
Force de tension dans une barrière :
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On a alors :
:<math> \Delta P = {T \over R } \,</math> pour un cylindre.
 
:<math> \Delta P = {2T \over R } \,</math> pour une sphère.
 
Pour un cylindre, dans notre cas, on schématise la situation comme suivant :
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À l'équilibre, on a :
:<math> \Delta P R d \Theta dz = 2T sin {d\Theta \over 2} dz \,</math>
 
On considère <math> d \Theta \,</math> petit donc on a :
:<math> sin ( {d \Theta \over 2}) = {d\Theta \over 2 } \,</math>
 
:<math> \Delta PR= T\,</math>
 
Finalement, on écrit :
:<math> T = R \Delta P \,</math>
 
Différence de pression :
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On distingue les deux cas suivant :
:<math>\begin{cases} z<h: \Delta P = -P_{petrole} \\ z>h: \Delta P = -P_{petrole} + P_{eau} \end{cases} \,</math>
 
:<math>\begin{cases} z<h: \Delta P = -\rho_{petrole}gz \\ z>h: \Delta P = -\rho_{petrole}gz + \rho_{eau}g(z-h) \end{cases} \,</math>
 
Donc :
:<math>\begin{cases} z<h: T=-R\rho_{petrole}gz \\ z>h: T=Rg[z (\rho_{eau} -\rho_{petrole}) -\rho_{eau}h] \end{cases} \,</math>
 
Application numérique :
:<math>\begin{cases} z<h: T = -392400 z \\ z>h: 490,5 ( 200 z - 50 ) \end{cases} \,</math>
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