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L'espérance de gain d'une personne ayant parié sur l'équipe 1 sera donc :
 
*: <math>E_1=p_1\times (D_1-1) -(1-p_1)=p_1\times D_1-1\,</math>
 
De même :
 
*: <math>E_2=p_2\times (D_2-1) -(1-p_2)=p_2\times D_2-1\,</math>
 
et :
 
 
*: <math>E_3=p_3\times (D_3-1) -(1-p_3)=p_3\times D_3-1\,</math>
 
=== Cas particulier du pari gratuit ===
Dans le cas particulier d'un pari gratuit, c'est-à-dire dans les cas où le bookmaker ne garde rien pour lui, les espérances de gain sont nulles, on a donc :
 
* <math>p_1=\frac{1}{D_1}\,</math>
 
* <math>p_2=\frac{1}{D_2}\,</math>
 
* <math>p_3=\frac{1}{D_3}\,</math>
 
les probabilités sont donc dans ce cas inversement proportionnelles aux cotes.
On dira que le pari est équitable si aucune éventualité n'est privilégiée par le bookmaker.
 
Son espérance de gain <math>-E_1\,</math> (l'opposée de celle du parieur) dans le cas d'une victoire de l'équipe 1
 
sera donc égale à <math>-E_2\,</math> et <math>-E_3\,</math>.
 
Notre hypothèse se traduit donc par : <math>E_1=E_2=E_3\,</math>
 
Naïvement, on peut penser que le bookmaker aura tendance à "parier" sur le résultat le plus probable,
== Calcul des probabilités dans l'hypothèse d'un pari équitable ==
 
Avec <math>E_1=E_2=E_3=E\,</math>, on a :
 
*: <math>E=p_1\times (D_1-1) -(1-p_1)=p_1\times D_1-1\,</math>
 
*: <math>E=p_2\times (D_2-1) -(1-p_2)=p_2\times D_2-1\,</math>
 
*: <math>E=p_3\times (D_3-1) -(1-p_3)=p_3\times D_3-1\,</math>
 
et on obtient par soustraction des équations :
 
 
Avec <math>p_1+p_2+p_3=1\,</math>, et en utilisant les rapports précédents, on obtient :
 
:<math>p_1=\frac{D_2 D_3}{D_2 D_3+D_1 D_3+D_1 D_2}</math>
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