« Trigonométrie/Les formules de trigonométrie » : différence entre les versions
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Ligne 88 :
:<math>\displaystyle \cos p + \cos q = 2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right).</math>
== Démonstration géométrique coas(a+b)==
=== Construction ===
[[File:Cosinus(a+b).png|thumb|Cosinus(a+b)]]
Soit un cercle de centre <math>o</math>,de rayon <math>r</math>.<br />
Soit trois point <math>r_{0},r_{1},r_{2}</math> sur le cercle tel que <math>\widehat{r_{0}or_{1}} = a</math> et <math>\widehat{r_{1}or_{2}} = b</math><br />
Soit <math>h_{1},h_{2}</math> les projetés orthogonaux de <math>r_{1},r_{2}</math> sur <math>or_{0}</math>.<br />
Soit <math>h_{3}</math> le projeté orthogonal de <math>r_{2}</math> sur <math>or_{1}</math>.<br />
Soit <math>x</math> le point d'intersection de <math>or_{1}</math>et <math>r_{2}h_{2}</math>.<br /><br />
On remarque que :<br />
<math>\widehat{oxh_{2}} = \widehat{h_{3}xr_{2}} \rightarrow \widehat{xr_{2}h_{3}} = a</math>.
=== Définition ===
Dans <math>h_{1}or_{1}</math> on a <math>oh_{1}=r\times\cos(a)</math><br/>
Dans <math>h_{2}or_{2}</math> on a <math>oh_{2}=r\times\cos(a+b)</math><br/>
Dans <math>h_{3}or_{2}</math> on a <math>oh_{3}=r\times\cos(b)</math> et <math>r_{2}h_{3}=r\times\sin(b)</math><br/>
Dans <math>h_{3}xr_{2}</math> on a <math>\frac{r_{2}h_{3}}{r_{2}x}=cos(a)
\Rightarrow r_{2}x = \frac{r_{2}h_{3}}{\cos(a)}
\Rightarrow r_{2}x = r\times\frac{\sin(b)}{\cos(a)}</math> <br/>
Dans <math>h_{3}xr_{2}</math> on a <math>\frac{xh_{3}}{r_{2}x}=sin(a)
\Rightarrow xh_{3} = r_{2}x\times\sin(a)
\Rightarrow xh_{3} = r\times\frac{\sin(a)\times\sin(b)}{\cos(a)}
</math> <br/>
=== Démonstration ===
D'après le [[théorème de Thalès]] dans le triangle <math>h_{1}or_{1}</math> on a <math>\frac{oh_{1}}{oh_{2}}=\frac{or_{1}}{ox}</math><br/>
Avec les défintions données ci-dessus on a : <br/>
<math>\frac{r \times \cos(a)}{r \times \cos(a+b)}=\frac{r}{oh_{3}-xh_{3}}
\Rightarrow \cos(a+b)=\frac{\cos(a)\times(oh_{3}-xh_{3})}{r} \Rightarrow \cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)</math>
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