« Trigonométrie/Les formules de trigonométrie » : différence entre les versions
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Ligne 88 :
:<math>\displaystyle \cos p + \cos q = 2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right).</math>
== Démonstration géométrique
=== Construction ===
[[File:Cosinus(a+b).png|thumb|
Soit un cercle de centre <math>o</math>,de rayon <math>r</math>.<br />
Soit trois point <math>r_{0},r_{1},r_{2}</math> sur le cercle tel que <math>\widehat{r_{0}or_{1}} = a</math> et <math>\widehat{r_{1}or_{2}} = b</math><br />
Soit <math>h_{1},h_{2}</math> les projetés orthogonaux de <math>r_{1},r_{2}</math> sur <math>or_{0}</math>.<br />
Soit <math>h_{3}</math> le projeté orthogonal de <math>r_{2}</math> sur <math>or_{1}</math>.<br />
Soit <math>x</math> le point d'intersection de <math>or_{1}</math>et <math>r_{2}h_{2}</math>.
▲On remarque que :<br />
<math>\widehat{oxh_{2}} = \widehat{h_{3}xr_{2}} \rightarrow \widehat{xr_{2}h_{3}} = a</math>.
===
Dans <math>h_{1}or_{1}</math>
Dans <math>h_{2}or_{2}</math>
Dans <math>h_{3}or_{2}</math>
Dans <math>h_{3}xr_{2}</math>
\Rightarrow r_{2}x = \frac{r_{2}h_{3}}{\cos a}
\Rightarrow r_{2}x = r\times\frac{\sin b}{\cos a }</math> <br/><br/>
Dans <math>h_{3}xr_{2}</math>
\Rightarrow xh_{3} = r_{2}x\times\sin a
\Rightarrow xh_{3} = r\times\frac{\sin a \times\sin b}{\cos a }
</math> <br/><br/>
On remarque que <math>ox = oh_{3} - xh_{3} \Rightarrow ox = r \times (\cos b - \frac{sin a \times sin b}{\cos a})</math>
===
[[File:Cosinus(a+b).png|thumb|Figure]]
D'après le [[théorème de Thalès]] dans le triangle <math>h_{1}or_{1}</math>
Avec les défintions données ci-dessus on a : <br/>▼
<math>\frac{
\Rightarrow \cos(a+b)=\frac{\cos a\times ox}{r} \Rightarrow \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a \sin b</math>▼
<math>\frac{r \times \cos a}{r \times \cos(a+b)}=\frac{r}{ox}</math><br/><br/>
<math>\Rightarrow \cos(a+b)=\frac{\cos a\times ox}{r}</math><br/><br/>
▲
=== sin(a+b) ===
[[File:Cosinus(a+b).png|thumb|Figure]]
Dans <math>h_{2}ox </math>, <math> \sin a = \frac{xh_{2}}{ox} \Rightarrow xh_{2} = ox \times \sin a </math><br/>
Dans <math>h_{2}or_{2}</math>, <math> \sin(a+b) = \frac{h_{2}r_{2}}{r} \Rightarrow r \times \sin(a+b) = r_{2}x + xh_{2} </math><br/><br/>
Avec les défintions données ci-dessus on obtient : <br/><br/>
<math>r \times \sin(a+b) = ox \times \sin a + r\times\frac{\sin(b)}{\cos(a)}</math><br/><br/>
<math>\Rightarrow r \times \sin(a+b) = r \times (\cos b - \frac{sin a \times sin b}{\cos a}) \times \sin a + r\times\frac{\sin(b)}{\cos(a)}</math><br/><br/>
<math>\Rightarrow r \times \sin(a+b) = r \times (\sin a \times \cos b - \frac{sin^2 a \times sin b}{\cos a}) + r\times\frac{\sin(b)}{\cos(a)}</math><br/><br/>
<math>\Rightarrow sin(a+b) = \sin a \times \cos b - \frac{\sin(b)}{\cos(a)}\times (1-\sin^2a) </math><br/><br/>
<math>\Rightarrow sin(a+b) = \sin a \times \cos b - \sin b \times \cos a </math><br/><br/>
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