« Polynôme/Définitions » : différence entre les versions
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Ligne 105 :
Soit <math>(b_0,b_1,b_2,...,b_{n-1},b_n) \in \R^{n+1}</math>.<br /> et <math>P= b_n{x^0}+b_{n-1}{x^{1}}+...+b_2{x^{n-2}}+b_1{x^{n-1}}+b_0 {x^n}</math>.
En voici la raison, du point de vue du physicien, souvent <math>b_0</math> est non nul et on ne considère que les polynômes
Donnons un exemple : le discriminant de l'équation du troisième degré :
Ligne 112 :
:<math> \Delta = 4p^3+27q^2 </math>.
Cette expression est « homogène » et pertinente (p puissance impaire, et q, paire). Eût-on écrit 3p' et 2q', on aurait eu le «
L'explication très simple qu'on peut en donner est la remarque suivante: l'équation du troisième degré a au moins une racine réelle, appelons-la x1 := 2 xo . La mise en facteur donne un polynôme du deuxième degré qui va conduire au discriminant ordinaire, qui discriminera s'il y a une ou trois racines réelles : la « transition de phase » ( le changement de comportement en mathématiques) aura lieu quand la racine sera double, donc quand elle vaudra -xo, puisque la somme des racines est nulle donc alors P(x) = (x-2xo)(x²+2x.xo +xo²) = x^3 + 3x0².x - 2xo^3 :soit p' = xo² et q' = -xo^3.
Ensuite, il est facile de retrouver la théorie de Landau du changement de phase
== Structure de K[X] ==
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