« Intégration de Riemann/Intégrales généralisées » : différence entre les versions

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=== L'objectif de ce cours est d'apprendre à étudier la convergence (et éventuellement à faire le calcul) d'intégrales dont une borne est infinie comme :<br />
<math>\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^2}</math> <br /> ou encore avec au moins une borne où la fonction n'est pas définie et a une limite infinie comme :<br />
<math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan x \,\mathrm{d}x</math> . ===
ou encore avec au moins une borne où la fonction n'est pas définie et a une limite infinie comme :<br />
<math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan x \,\mathrm{d}x</math> .
 
== Définitions et premières propriétés ==
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Par comparaison d'intégrales, <math>f\le g \Rightarrow F\le G\;(\star)</math> .Donc si <math>\int_a^b g(t)\mathrm{d}t</math> converge, alors <math>G</math> converge et est donc majorée(d'après le Lemme), ce qui implique d'après <math>(\star)</math> que <math>F</math> aussi et donc (toujours grâce au Lemme) que <math>\int_a^b f(t)\mathrm{d}t</math> converge.
}}
'''Exemple :'''<br />
 
Montrer que <math>\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2} \;\mathrm{d}t</math> converge.<br />
'''Exemple :'''<br />
On remarque que :
Montrer que <math>\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2} \;\mathrm{d}t</math> converge.<br />
<math>\begin{align}
On remarque que :
\forall t \ge 1, t^2 \ge t &\Rightarrow -t^2 \le -t\\
<math>\begin{align}
&\forallRightarrow t0\le \ge 1, tmathrm{e}^2 \ge t &\Rightarrow {-t^2} \le \mathrm{e}^{-t}\\
&\Rightarrow 0\le \int_1^x \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t \le \int_1^x \mathrm{e}^{-t}\\mathrm{d}t
\end{align}</math>.
&\Rightarrow 0\le \int_1^x \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t \le \int_1^x \mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t
\end{align}</math>.
 
Mais <math>\int_1^x \mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t = [-\mathrm{e}^{-t}]_1^x = \frac{1}{\mathrm{e}} - \mathrm{e}^{-x} \xrightarrow[x\to +\infty]{} \frac{1}{\mathrm{e}}</math> donc <math>\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{-t} \;\mathrm{d}t</math> converge et <math>\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2} \;\mathrm{d}t</math> converge aussi.