« Intégration de Riemann/Exercices/Propriétés de l'intégrale » : différence entre les versions
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→Exercice 7 : +solution |
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Ligne 205 :
<math>\int_{0}^{a} |f(t)|^2\, dt \le \frac{a^2}{2}\int_{0}^{a} |f'(t)|^2 dt.</math>
{{Solution
Il suffit de remarquer que, par l'inagalité de Cauchy-Schwarz, on a :
<math>|f(t)|^2 = |f(t)-f(0)|^2 = \left|\int_{0}^{t} f'(u) du \right|^2 \leq \int_{0}^{t} |f'(u)|^2 du \, \int_{0}^{t} 1^2 du = t \int_{0}^{t} |f'(u)|^2 du.</math>
Une intégration par parties donne ensuite :
<math>\int_0^a |f(t)|^2 dt \leq \int_0^a t \left(\int_{0}^{t} |f'(u)|^2 du\right) dt = \left[ \frac{t^2}{2} \left(\int_{0}^{t} |f'(u)|^2 du\right) \right]_0^a - \int_0^a \frac{t^2}{2} |f'(t)|^2 dt = \frac{a^2}{2} \left(\int_{0}^{a} |f'(u)|^2 du\right)- \int_0^a \frac{t^2}{2} |f'(t)|^2 dt \leq frac{a^2}{2} \left(\int_{0}^{a} |f'(u)|^2 du\right). </math>
}}
== Exercice 8 ==
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