« Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen » : différence entre les versions

| niveau = 15

}}

L’inégalité de Jensen est une généralisation de l’inégalité de convexité à plusieurs nombres. Elle permet de démontrer des inégalités portant sur des expressions faisant intervenir plusieurs nombres. Comme, par exemple, la comparaison entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de plusieurs nombres. La plupart de ces inégalités seraient délicates à démontrer autrement.

 

 

Rappelons le théorème démontré dans un chapitre précédent et connue sous le nom d’inégalité de Jensen.

{{théorème

| titre = Théorème

 

}}

Nous avons aussi le corollaire immédiat suivant :

{{corollaire

| contenu =

 

}}

Il suffit de poser λ₁ = λ₂ = … = λ_n = 1/n dans le théorème de Jensen.

Nous allons voir plusieurs applications de l’inégalité de Jensen.

== Application 1 : Comparaison entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique==

 

 

}}

== Application 2 : Comparaison entre moyenne arithmétique et moyenne harmonique ==

 

<math> \forall n \in \N^* \qquad \forall p \in \N^* \qquad \forall (x_1,\cdots,x_n) \in (\R_+)^n \qquad \sum_{k=1}^n \frac{x_k}n \leqslant \left(\frac 1n \sum_{k=1}^n x_k^p \right)^{\frac 1p} </math>

}}

{{démonstration

|contenu =

 

}}

== Application 3 : Démonstration de l'inégalité de Holder==

 

 

}}

{{Bas de page

| idfaculté = mathématiques