« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

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| idfaculté = mathématiques
| numéro = 1
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| suivant = [[../Groupe symplectique/]]
| niveau = 18
}}
 
L'étude des formes bilinéaires symétriques donne lieu à la [[géométrie euclidienne]], la [[géométrie riemannienne]], et la géométrie pseudo-riemannienne. Au contraire, l'étude des formes bilinéaires alternées donne lieu à la géométrie symplectique. Ce cours a pour objectif d'introduire les principales définitions et les propriétés élémentaires des formes symplectiques, en commençant par une première étude en algèbre linéaire.
 
== Rappels d'algèbre linéaire ==
 
* '''symétrique''' lorsque pour tous vecteurs ''v'' et ''w'' de ''V'', on a : <math>a(v,w)=a(w,v)</math> ;
 
* '''antisymétrique''' lorsque pour tous vecteurs ''v'' et ''w'' de ''V'', on a : <math>a(w,v)=-a(v,w)</math>.
 
<math>a=a_{sym}+a_{antisym}</math>
où <math>2a_{sym}(v,w)=a(v,w)+a(w,v)</math> et <math>2a_{antisym}(v,w)=a(v,w)-a(w,v)</math>.
 
 
Une forme bilinéaire ''a'' sur ''V'' induit une application linéaire <math>V\rightarrow V^*</math> définie comme suit :
* <math>\scriptstyle a(X_i,X_j)=0</math>, <math>\scriptstyle a(X_i,Y_j)=\delta_{ij}</math> et <math>\scriptstyle a(Y_i,Y_j)=0</math>.
}}
 
 
{{Démonstration
 
* Initialisation : en dimension 0, la seule forme bilinéaire sur l'espace nul est l'application nulle, la seule base est la famille vide et le résultat s'applique (avec r = 0 et k = 0).
 
* Supposons le résultat démontré jusqu'à la dimension n-1.
** Si ''a'' est la forme nulle, alors le noyau de ''a'' est ''E'' ; et toute base de ''E'' convient. Sinon, fixons un vecteur ''X''₁ de ''E'' qui ne soit pas dans le noyau de ''a''. Choississons un vecteur ''Y''₁ tel que ''a''(''X''₁,''Y''₁) soit non nul. Quitte à modifier ''Y''₁ en ''Y''₁/''a''(''X''₁,''Y''₁), on est en droit de supposer ''a''(''X''₁,''Y''₁)=1. Les vecteurs ''X''₁ et ''Y''₁ sont non colinéaires et engendrent donc un plan vectoriel ''P''.
 
** L'ensemble des vecteurs ''v'' vérifiant <math>a(X_1,v)=a(Y_1,v)=0</math> est un sous-espace vectoriel Q de ''E''. Tout vecteur ''w'' peut s'écrire :
<math>w=w_P+w_Q</math> où <math>\scriptstyle w_p=a(X_1,w)Y_1+a(w,Y_1)X_1\in P</math> et <math>w_Q\in Q</math>.
* Soit l'impulsion ''p''₁ est nulle, auquel cas ''q''₁ est nécessairement non nul. Comme <math>E^*</math> sépare les points de ''E'', il existe une forme linéaire <math>p_2</math> sur ''E'' vérifiant <math>p_2(q_1)=-1</math>. En prenant <math>q_2=0</math>, on trouve <math>\omega_E(v_1,v_2)=1\neq 0</math>.
}}
 
 
{{Exemple|titre=Exemple 3
''Remarque :'' L'exemple 1 est un cas particulier de l'exemple 3.
}}
 
 
{{Exemple|titre=Exemple 4
 
En particulier, <math>g_J</math> est un produit euclidien sur ''V'' ; et <math>h_J=g_J+i\omega</math> est un produit hermitien sur l'espace vectoriel complexe <math>(V,J)</math>.}}
 
 
{{Démonstration|titre=Vérifications
* ''<math>g_J</math> est une forme bilinéaire symétrique :''
 
En effet, pour tous vecteurs ''v'' et ''w'' de ''E'', comme ''J'' est un symplectique, il vient :
 
<math>g_J(v,w)=\omega(v,Jw)=\omega(Jv,-w)=\omega(w,Jv)=g_J(v,w)</math> ;
Le calcul est similaire : <math>h_J(v,Jw)=-\omega(v,w)+i\omega(v,Jw)=i.h_J(v,w)</math>. On montre ainsi que <math>h_J</math> est sesquilinéaire. Par ailleurs, <math>h_J</math> est visiblement défini positif : pour tout vecteur non nul ''v'', on a : <math>h_J(v,v)=\omega(v,Jv)>0</math>.
}}
 
 
 
{{Théorème
De plus, l'nsemble ''I''(''V'') des structures complexes ω-compatibles forme une partie connexe de GL(V). Les groupes <math>GL(V)</math> et <math>Sp(V,\omega)</math> agissent transitivement sur ''I''(''V'') par conjugaison.
}}
 
 
{{Démonstration
La multiplication par ''i'' sur un espace hermitien <math>(H,h)</math> est une isométrie ''J'', et donc en particulier, une structure complexe et un isomorphisme symplectique de <math>(H,\omega_h)</math>. On constate que la forme bilinéaire symétrique définie alors par <math>\omega_h</math> et <math>J</math> est <math>g_h=Re h</math>. En particulier, elle est non dégénérée, et donc ''J'' est <math>\omega_h</math>-compatible. La forme hermitienne ''h'' n'est autre que la forme hermitienne associée à <math>(\omega,J)</math>.
}}
 
 
{{Exemple|titre=Exemple 3 bis
L'orthogonal n'est pas nécessairement un sous-espace supplémentaire. Par exemple, l'orthogonal d'une droite vectorielle la contient.
}}
 
 
{{Propriété|titre=Propriétés
:* Identité des dimensions : <math>\dim W+\dim W^{o}=\dim V</math>.
}}
 
 
On a ainsi plusieurs cas particuliers :
 
 
{{Définition
En particulier, ''W'' est '''lagrangien''' si et seulement s'il est '''isotropique et coisotropique.'''
}}
 
 
L'orthogonal d'un hyperplan ''H'' est une droite ''D''. L'orthogonal de ''D'', à savoir ''H'', doit contenir ''D''. Autrement dit, l'orthogonal de ''H'' est contenu dans ''H'' : tout hyperplan est nécessairement coisotropique.
=== Réduction symplectique ===
Si ''W'' est un sous-espace coisotropique de ''V'', alors ω induit une forme symplectique sur l'espace quotient <math>W/W^{o}</math>.
 
 
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