« Intégration de Riemann/Intégrale de Riemann » : différence entre les versions

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| idfaculté = mathématiques
| numéro = 1
| précédent = [[../|sommaireSommaire]]
| suivant = [[../Propriétés de l'intégrale/]]
| niveau = 14
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Soit <math>\varepsilon>0</math> et soit <math>(a_1;a_2;\ldots;a_n)</math> une subdivision de <math>[a;b]</math> telle que <math>\forall i \in [1;n]\cap \mathbb N, \; a_{i+1}-a_i = \frac{b-a}{n} < \delta_{\varepsilon}</math> .<br />
On construit alors les fonctions <math>\psi,\varphi \in \mathcal E([a;b])</math> définies par :<br />
* <math>\psi(x) = m_i = \min_{x\in [a_i;a_{i+1}]}f(x)</math> ;<br />
* <math>\varphi(x) = M_i = \max_{x\in [a_i;a_{i+1}]}f(x)</math> .<br />
La continuité uniforme et la définition du minimum et du maximum (qui existent bien, puisque <math>f</math> est continue sur l'intervalle fermé borné <math>[a;b]</math>) permettent alors de conclure.
}}
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On note :
* <math>\mathcal E^- =\{\psi \in \mathcal E([a;b])\;|\;\psi \le f\}</math> et <math>\mathcal I^- = \left\{\int_a^b \psi(x)\mathrm{d}x \;| \;\psi \in \mathcal E^-\right\}</math>
* <math>\mathcal E^+ =\{\varphi \in \mathcal E([a;b])\;|\;\varphi \ge f\}</math> et <math>\mathcal I^+ = \left\{\int_a^b \varphi(x)\mathrm{d}x \;|\; \varphi \in \mathcal E^+\right\}</math>.<br />
La fonction <math>f</math> est dite '''intégrable au sens de Riemann''' si, et seulement si :<br />
<center>
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| idfaculté = mathématiques
| suivant = [[../Propriétés de l'intégrale/]]
| précédent = [[../|sommaireSommaire]]
}}</noinclude>