« Mouvement à force centrale et potentiel newtonien/Force centrale » : différence entre les versions

| idfaculté = physique

| numéro = 1

| suivant = [[../Potentiel Newtonien/]]

| niveau = 14

 

== Trajectoire plane ==

 

[[Fichier:Force centrale - mouvement plan.png|thumb|right|500px|La trajectoire est contenue dans le plan orthogonal à <math>\vec L</math> et contenant le centre attracteur O.]]

 

On note <math>{L}= m r^2 \dot{\theta}</math> la norme du moment cinétique. Au cours du mouvement, la distance au centre r et la vitesse angulaire <math>\dot{\theta}</math> vont varier mais le produit <math>r^2 \dot{\theta}</math> restera constant à chague instant. On note <math>C = r^2 \dot{\theta}</math>

 

L'aire balayée par le vecteur <math>\overrightarrow {OM} </math> pendant un instant dt est approximée comme étant l'aire du demi rectangle de côtés r et rdθ :

 

On pose :

 

Calculons la dérivée de r par rapport au temps :

 

:<math> \vec v = -{1\over u^2} \dot \theta {du \over d\theta} \vec e_r + {1 \over u} \dot \theta \vec e_\theta</math>

 

Pour un mouvement à force centrale, on utilise la constante des aires : <math> C = r^2 \dot \theta = {\dot \theta \over u^2}</math>

 

:<math> \vec v = -C{du \over d\theta} \vec e_r + {1 \over u} Cu^2 \vec e_\theta</math>

 

{{Encadre

<math> \vec v = -C {du \over d\theta} \vec e_r + Cu \vec e_\theta</math>

}}

 

La force étant centrale, l'accélération est dirigée selon <math>\vec e_r</math> et donc sa composante selon <math>\vec e_\theta</math> est nulle. Son expression est donc :

<math> \vec a = -C^2u^2\left({d^2u\over d\theta^2} +u \right)\vec e_r</math>

}}

 

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| suivant = [[../Potentiel Newtonien/]]

}}