« Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice » : différence entre les versions
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| numéro = 9
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<math>exp( \mathbf A)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\mathbf A ^k}{k!}</math>
}}
{{Démonstration|titre=Démonstration de l'existence de l'exponentielle
| contenu =
On démontre que la série <math>\sum \frac{A^k}{k!}</math> converge normalement.
Toutes les normes étant équivalentes, on peut utiliser une norme subordonnée. Rappel : une norme subordonnée vérifie
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* <math>det (e^A) = exp (tr(A))</math>
}}
{{Démonstration
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}}
{{Théorème
Ligne 59 ⟶ 56 :
L'exponentielle d'une matrice A est toujours inversible et son inverse vaut <math>e^{-A}</math>.
}}
{{Démonstration
Ligne 74 ⟶ 70 :
}}
{{Propriété|titre=Matrices nilpotentes
| contenu =
Soit A une matrice nilpotente, c'est-à-dire telle que <math>\exists q \in [| 1, n |] \text{ tq } A^q=0</math>, alors l'exponentielle se transforme en somme finie et
<math>exp(A)=\sum_{k=0}^q \frac{A^k}{k!}</math>
}}
{{Propriété|titre=Généralisation
Ligne 92 ⟶ 86 :
Les exponentielles matricielles sont principalement utilisées pour la résolution d'équations différentielles linéaires
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| idfaculté = mathématiques
| précédent = [[../Décomposition de Frobenius/]]
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