« Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions » : différence entre les versions

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{{Chapitre
| idfaculté = mathématiques
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| page_liée = Exercices/Suites de fonctions
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== Convergence uniforme ==
 
Intuitivement, la convergence uniforme est une convergence qui a lieu "uniformément" (c'est-à-dire "à la même vitesse") sur tout le domaine de définition <math>\mathcal D</math> .Ce n'est pas le cas pour l'exemple choisi ici : en effet, il existe une "bosse" en <math>\frac{\pi}{2}</math> qui "persiste" lors du passage à la limite. <br />
 
{{Définition
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On abrègera « convergence simple » en « CVS » et « convergence uniforme » en « CVU ».
 
 
'''Remarque''' Sur l'espace <math>\mathcal C^0(\mathcal D)</math>, (où <math>\mathcal D</math> est un '''compact'''), la '''norme « infinie »''' ou '''norme ''sup''''' ou encore '''norme de la convergence uniforme''' s'écrit :
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* On remarque que <math>\forall x\ge 1,\; 0<\mathrm{e}^{-x}<1 </math> , donc la suite <math>\mathrm{e}^{-nx}</math> est géométrique de raison <math>\mathrm{e}^{-x}</math> et converge simplement vers <math>0</math> pour tout réel <math>x\ge 1</math>.<br /> Donc, <math>(f_n) \xrightarrow[n\to +\infty]{CVS} f</math> où <math>f</math> est la fonction nulle.
 
* De plus , en étudiant les variations de la fonction <math>f_n</math> sur <math>[1;+\infty[</math>, on montre que :
:<math>||f_n-f||_\infty^{[1;+\infty[} = \mathrm{e}^{-n} \xrightarrow[n\to +\infty]{}0</math>.
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=== Propriétés de la convergence simple ===
La convergence simple possède des propriétés assez faibles. On peut toutefois énoncer les propriétés suivantes :<br />
 
{{Propriété
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=== Propriétés de la convergence uniforme ===
Elles sont beaucoup plus nombreuses et fortes. Tout d'abord :<br />
 
{{Théorème
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<math> \forall \varepsilon > 0 , \exist \delta_{\varepsilon} > 0 | \forall x\in\mathcal D , |x-a| < \delta_{\varepsilon} \Rightarrow |f(x) - \ell| < \varepsilon\; (1) </math><br />
On écrit ce que l'on sait avec les définitions "en <math>\varepsilon</math>" :<br />
* <math>\lim_{x\to a} f_n(x) = \ell_n</math> : <math>\forall n\in \mathbb N, \forall \varepsilon > 0 , \exist \eta_{\varepsilon}>0 | \forall x\in \mathcal D , |x-a| < \eta_{\varepsilon,n} \Rightarrow |f_n(x) - \ell_n| < \varepsilon\; (2)</math> ;<br />
* <math>(f_n) \xrightarrow[n\to +\infty]{CVU} f</math> : <math>(3)\; \forall \varepsilon > 0 , \exist n_{\varepsilon}\in \mathbb N | \forall x\in \mathcal D,\; \forall n\in \mathbb N , n \ge n_{\varepsilon} \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon\; (3)</math> ;<br />
* <math>\lim_{n\to +\infty} \ell_n = \ell</math> : <math>(4)\; \forall \varepsilon > 0 , \exist n^'_{\varepsilon}\in \mathbb N | \forall x\in \mathcal D ,\; \forall n\in \mathbb N , n \ge n^'_{\varepsilon} \Rightarrow |\ell_n-\ell| < \varepsilon\; (4)</math> .<br />
Il "suffit" alors de remarquer que :<br />
<math>|f(x) - \ell| = |f(x) - f_n(x) + f_n(x) - \ell_n + \ell_n - \ell| \le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - \ell_n| + |\ell_n - \ell| \le \varepsilon + \varepsilon + \varepsilon = 3\varepsilon</math> <br />
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Si :<br />
* <math>\forall n\in \mathbb N</math> , <math>f_n</math> est dérivable sur <math>\mathcal D</math>
* '''la suite de fonctions dérivées <math>(f_n^')</math> converge uniformément ''',<br />
alors :<br />
<center>{{Encadre|contenu=<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\lim_{n\to +\infty} f_n\right) = \lim_{n\to +\infty} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f_n \right)</math>}}</center>.
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(exemple à faire)
<br />
Enfin, on a le :<br />
 
{{Théorème
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| contenu =
Si :<br />
* <math>f_n</math> est continue par morceaux sur <math>[a;b]\subset \mathcal D</math> pour tout <math>n\in \mathbb N</math> <br />
* la suite de fonctions <math>(f_n)</math> converge simplement vers une fonction <math>f</math> continue par morceaux sur <math>[a;b]</math> <br />
* il existe une fonction <math>g</math> positive et continue par morceaux sur <math>[a;b]</math> telle que :
<center><math>\forall n \in \mathbb N, \forall x \in E, |f_{n}(x)|\leq g(x)</math> '''(hypothèse de domination)'''</center><br />
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