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« Combinatoire/Introduction » : différence entre les versions

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Les possibilités en vert sont toujours comptées. Celles en bleu sont celles où le même chiffre est tiré deux fois de suite ; ce n'est possible que si le tirage est "« avec remise" ». Celles en rouge ont chacun un jumeau qui présententprésente les mêmes chiffres dans le sens contraire ; elles ne sont comptées que si l'ordre est considéré comme important.
Si on compte, on obtient les résultats suivants :
 
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Nous verrons plus tard comment résoudre ce genre de problèmes de manière systématique. En fait, les quatre cas qui figurent dans ce tableau correspondent à quatre des six types de disposition que l'on étudiera dans ce cours. Garder en tête l'image d'un tirage au sort, il s'agit d'un exemple facile à imaginer.
 
Une remarque s'impose ici. Cela va vous peut-être vous paraître évident, mais tous les calculs faitfaits ici n'ont aucun rapport avec le hasard en jeu lors du tirage à la loterie. Il s'agit juste d'un exemple : on peut imaginer des situations tout à fait analogues qui ne font pas appel au hasard. Par exemple, on peut se demander combien de manières différentes on a de choisir 2 élus au parlement parmi 4 candidats. Les réponses seront parfaitement analogues.
 
Certes, on peut aussi se poser la question : quelle est la probabilité de chaque tirage ? Mais ce n'est plus alors dans le domaine de la combinatoire ; c'est la théorie des probabilités qui s'occupe de ce genre de questions.
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Là encore, il y a plusieurs manières de procéder :
 
*Est-ce que les objets sont '''discernables''' ? En d'autres mots, est-ce que ce sont tous les mêmes – et dans ce cas, seul le nombre d'objetobjets qu'on met dans chaque boîte à de l'importance – où est-ce qu'ils sont tous différents ? <br />Par exemple, si on considère les objets comme '''indiscernables''', les dispositions<br />''Boîte A contient {1, 2, 3} et Boîte B contient {4}'' <br />ou bien <br />''Boîte A contient {2, 3, 4} et Boîte B contient {1}''<br />sont considérées comme identiques et ne sont comptéscomptées qu'une fois. Ce n'est pas le cas si on considère que les objets sont discernables.
*Est-ce que les boîtes sont discernables ? La distinction est la même que dans le cas des objets. Par exemple, les dispositions <br />''Boîte A contient {1, 2, 3} et Boîte B contient {4}''<br />ou bien<br />''Boîte B contient {1, 2, 3} et Boîte A contient {4}''<br />sont identiques si les boîtes sont considérées comme indiscernables et différentes si elles sont considérées comme discernables.
 
Ici, occupons -nous du cas où et les objets et les boîtes sont discernables. Essayez de faire la liste avant de regarder la réponse.
Voici l'ensemble des réponses :
 
[[Image:Nombre_arrangements_avec_repetition.png|300px]]
 
Il y a donc 16 possibilitépossibilités en tout.
 
=== Ensemble des sous-ensembleensembles ===
 
Vous aurez peut-être remarqué que la réponse à l'exercice précédent est la même que l'une des réponses pour l'exemple de la loterie. Ce n'est pas un hasard: en effet, mathématiquement le problème s'exprimerait de la même manière, et ce bien que les deux problèmes posés paraissent très différents.
Ce sont tous les deux des "« arrangements avec répétition" », un des cas théoriques que l'on étudiera plus tard.
Nous allons apprendre dans la suite de ce cours à distinguer un certain nombre de ces cas théoriques, et à trouver des formules générales qui permettent de les résoudre ; toute la difficulté sera pour vous de relier chaque problème avec sa formule.
 
La théorie des ensembles offre le cadre théorique idéal, d'une part pour démontrer formellement les différentes formules, d'autresautre part pour « abstraire » toutes les situations possibles et les réduire à quelques cas typiques. Vous vous apercevrez que la difficulté du cours est d'avoir suffisamment d'intelligence pour distinguer les différents cas et ratachezrattacher le problème qui vous préoccupe au bon. Si vous avez une bonne intuition, vous pourrez vous débrouillez, mais les risques de confusion existent. Le langage de la théorie des ensembles, lui, est sans ambiguïté une fois que l'on a appris à le comprendre.
 
Rassurez-vous : si vous ne connaissez pas la théorie des ensembles, elle n'est pas obligatoire pour ce cours. Les paragraphes qui en parlent seront disposéesdisposés en fin de chapitre et pourront être passés. Si pour vous, le mot « injection » n'évoque que le vaccin de rappel contre le tétanos et que le mot « relation » ne vous fait penser qu'à votre liaison amoureuse présente, passée ou imaginaire, il est probable que vous deviez vous y résoudre. Vous pouvez aussi en profiter pour lire ce cours sur la théorie des ensembles pour ensuite revenir profiter de celui-ci ;-)
 
Voyons un exemple de question de combinatoire qui fait intervenir la théorie des ensembles. Soit un ensemble A contenant 4 éléments. Soit B l'ensemble des sous-ensembles de l'ensemble A. Quel est le cardinal de B (c'est-à-dire combien existe-il de sous-ensembles de A ?)
 
Visualisons la situation via un schéma très moche:
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