« Combinatoire/Factorielles » : différence entre les versions
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Avant de rentrer dans le vif du sujet, nous avons besoin de présenter une notation mathématique que nous devrons utiliser à plusieurs reprises : la factorielle. Elle nous permettra d'écrire succinctement un produit particulier de nombres entiers.
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| contenu = '''Je comprends ce que signifie la factorielle pour un nombre entier positif. En revanche, pourquoi avoir défini 0! = 1 ? Cette expression ne semble pas avoir de sens. Puis, quitte à donner une valeur à 0!, on devrait avoir 0! = 0✕1 = 0, non?'''
C'est vrai qu'à priori c'est une définition qui peut paraître arbitraire. Si on voit la factorielle comme le produit des
En fait, la valeur donnée à la factorielle de 0 est purement conventionnelle. Cette convention a été choisie pour deux raisons :
*On aurait pu décider de ne pas donner de sens à 0! tout comme on ne donne pas de sens à <math>\scriptstyle{\frac{1}{0}}</math>. C'est une position qui aurait été défendable. Seulement, cela aurait empêché la formulation générale de certaines formules qui seront présentées plus loin dans le cours.
*Si on avait choisi 0! = 0 ou bien une toute autre valeur, la définition au-dessus n'aurait pas pu marcher. On aurait eu par exemple 1! = 0!✕0 = 0. Si on veut donner une valeur à 0!, la seule possible est 1.
C'est un peu comme quand on a défini '''a<sup>0</sup> = 1'''. Mettre n'importe quel nombre à la puissance 0 n'a à priori pas de sens. Mais on a la formule bien connue :
<math>a^{x+y} = a^x\times a^y</math>
Et on aimerait qu'elle
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