« Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2 » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
m Robot : Remplacement de texte automatisé (-qu'il +qu’il)
Ligne 1 :
{{Exercice
| titre = ExerciceUn desimple coursautomate cellulaire
| idfaculté = mathématiques
| numéro = 12
| précédent = [[../..Suites récurrentes linéaires 1/|Sommaire]]
| suivant = [[../Suites récurrentes linéaires 23/]]
| niveau = 14
}}
 
== Un simple automate cellulaire ==
Ce premier exercice vise à vérifier votre assimilation des résultats du cours : les équations y sont proposées sous une forme simple qui vous permet d'utiliser directement les théorèmes développés dans la leçon.
Un automate cellulaire est un algorithme qui évolue ''pas à pas'', observant les structures qu’il a déjà produites pour effectuer l'étape suivante. Cet exercice propose d'en étudier un très simple au moyen des suites récurrentes linéaires d'ordre deux.
 
=== Définition de l'automate ===
Les exercices suivants seront moins « automatiques » et nécessiteront la recherche et la mise en équation du problème, la résolution étant supposée acquise.
Cet automate prendra deux valeurs, d'indice ''n'' et ''n+1'', et retournera la valeur d'indice ''n+2''. On incrémente alors ''n'' et on recommence l'opération.
 
Les règles sont :
=== Partie 1 ===
* <math>(0, 0) \mapsto 1</math> ;
* <math>(1, 0) \mapsto 0</math> ;
* <math>(0, 1) \mapsto 0</math> ;
 
L'automate reçoit les deux premières valeur et les complète avec ces règles. Par exemple, si on commence avec « 00 », alors il calculera le chiffre suivant (d'après les règles précédentes, c'est un 1). L'automate ne peut traiter que des 0 et des 1. On suppose que le cas « 11 » ne peut débuter la séquence.
On définit la suite <math>\left( a_n \right)_{n \in \mathbb N}</math> par :
<math>\frac14 a_n + \frac12 a_{n-1} + 1 = 0</math>
 
=== Questions ===
Répondez aux questions suivantes :
:'''1.''' Mettre en équation l'automate décrit, sous la forme d'une suite récurrente linéaire d'ordre deux. Cette mise en équation est-elle unique ? ;
:'''2.''' Montrer que l'équation homogène associée n'admet pas de solutions réelles ;
:'''3.''' Montrer que, quels que soient les deux premiers termes de la séquence, celle-ci est périodique.
 
{{Solution}}
:'''1.''' Exprimer <math>a_n</math> en fonction de ''n'' ;
:'''2.''' La suite converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?
 
=== Oublions les règles ===
{{Solution
Oublions maintenant les règles : il s'agit désormais de mathématiques pures.
| contenu =
'''1.''' La relation de récurrence peut également s'écrire <math>\forall n \in \N,~a_{n+1}=-2a_n-4</math>. Il s'agit d'une suite récurrente d'ordre 1, de la forme <math>a_{n+1}=\alpha a_n+\beta~</math> avec <math>\alpha=-2</math> et <math>\beta=-4</math>
 
:'''1.''' Le cas « 11 » n'est plus exclus : montrer que la solution est toujours périodique ;
L'expression explicite de (a<sub>n</sub>) est alors : <math>\forall n \in \N,~a_n=\alpha^na_0+\beta \left ( \sum_{i=0}^{n-1} \alpha^i\right )</math>, c'est-à-dire en remplaçant :
:'''2.''' Existe-t-il une solution complexe à l'équation homogène ? Est-elle bornée ?
 
{{Solution}}
<math>\begin{align}\forall n \in \N,~a_n&=\alpha^na_0+\beta \left ( \sum_{i=0}^{n-1} \alpha^i\right )\\
&=(-2)^na_0-4 \left ( \sum_{i=0}^{n-1} (-2)^i\right )\\
&=(-2)^na_0-4 \left (\frac{(-2)^n-1}{-3}\right )\\
&=(-2)^na_0-4 \left (\frac13-\frac{(-2)^n}3\right )\\
\end{align}</math>
 
On change les règles de l'automate (''x'' représente n'importe quel nombre, ce n'est pas une quantité fixe) :
{{Encadre
* <math>(0, 0) \mapsto 0</math> ;
| contenu =
* <math>a_n=(-2a, b)^n \leftmapsto x (a_0+\frac43\rightgeq 0</math> si <math>a )-\frac43geq b</math>;
* <math>(a, b) \mapsto x \leq 0</math> si <math>a \leq b</math>.
}}
 
Dans ce cas :
'''2.''' La convergence de (a<sub>n</sub>) dépend alors de la valeur de a₀ :
* Si <math>a_0=-\frac43~</math>, la suite (a<sub>n</sub>) stationne à <math>-\frac43</math>, donc elle converge vers <math>-\frac43</math>.
* Si <math>a_0 \not=-\frac43~</math>, la suite (a<sub>n</sub>) n'admet pas de limite.}}
 
:'''1.''' Proposer une mise en équation de cet automate. Est-elle unique ?
=== Partie 2 ===
:'''2.''' Quelle est l'évolution d'une séquence décrite par cette équation ?
Soit la suite définie par :
* <math>u_0 = u_1 = 1 </math> ;
* <math>5u_{n+2}-4u_{n+1}-u_n = 3</math>.
 
On définit également la suite (''v<sub>n</sub>''), solution de :
* <math>v_0 = 1, v_1 = -1</math> ;
* <math>\frac12 v_{n+1} - v_n = \frac23 \left( v_{n+2} - 5 \right)</math>
 
On pose enfin la suite définie par :
<math>w_n = \frac{u_n - v_n}{u_n + v_n}</math>
 
Répondez aux questions suivantes :
:'''1.''' Exprimer <math>u_n</math> et <math>v_n</math> en fonction de ''n'' ;
:'''2.''' Les suites ainsi définies convergent-t-elle ? Si oui, quelle est leur limite ?
:'''3.''' La quantité <math>w_n</math> est-elle définie pour tout ''n'' ?
:'''4.''' La suite <math>\left( w_n \right)_{n \in \mathbb N}</math> est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
:'''5.''' Que dire du module de cette suite ?
 
{{Solution
| titre = Calcul de (u<sub>n</sub>)
| contenu =
* On commence par résoudre l'«équation homogène associée à (u<sub>n</sub>)» : <math>5u_{n+2}-4u_{n+1}-u_n=0</math>.
* L'équation caractéristique associée est <math>5X^2-4X-1=0</math>.
* Le discriminant de ce polynôme veut <math>\Delta=16-4~(-1)~5=36</math> donc le polynôme admet deux racines réelles <math>r_1=1</math> et <math>r_2=-\frac15</math>.
* L'ensemble des solutions de l'«équation homogène associée à (u<sub>n</sub>)» est alors constitué des suites de la forme <math>\left \{\forall n \in \N,~s_n=\alpha + \beta \left ( -\frac15 \right )^n/ (\alpha,\beta) \in \R^2 \right \}</math>
* On cherche une solution particulière de l'équation de récurrence originale. On pose pour cela <math>P(x)=5X^2-4X-1</math>.
** On a P(1)=0. On étudie donc <math>P'(X)=10X-4</math>
** <math>P'(1) \not =0</math> donc la suite définie par <math>\forall n \in \N,~\sigma_n=\frac n2</math> est solution particulière de l'équation de récurrence initiale.
* L'ensemble des solutions de l'équation de récurrence est alors constitué des suites de la forme <math>\left \{\forall n \in \N,~s_n=\alpha + \beta \left ( -\frac15 \right )^n+\frac n2/(\alpha,\beta) \in \R^2 \right \}</math>
* On utilise alors les conditions initiales pour trouver l'expression de u<sub>n</sub> en trouvant <math>\alpha</math> et <math>\beta</math> :
* <math>\begin{cases}
u_0=1=\alpha+\beta\\
u_1=1=\alpha-\displaystyle{\frac{\beta}5+\frac12}
\end{cases}</math> donc <math>\begin{cases}
1=\alpha+\beta\\
\displaystyle{\frac12=\alpha-\frac{\beta}5}
\end{cases}</math>
* La résolution de ce système par une méthode au choix donne <math>(\alpha,\beta)=\left ( \frac7{12},\frac5{12}\right )</math>
 
{{Encadre
| contenu =
Finalement : <math>\forall n \in \N,~u_n=\frac7{12}+\frac5{12} \left (-\frac15 \right )^n+\frac n2</math>
}}
}}
 
{{Solution
| titre = Calcul de (v<sub>n</sub>)
| contenu =
* L'équation de récurrence vérifiée par (v<sub>n</sub>) peut se réécrire <math>4v_{n+2}-3v_{n+1}+6v_n=20</math>.
* On commence par résoudre l'«équation homogène associée à (v<sub>n</sub>)» : <math>4v_{n+2}-3v_{n+1}+6v_n=0</math>.
* L'équation caractéristique associée est <math>4X^2-3X+6=0</math>.
* Le discriminant de ce polynôme veut <math>\Delta=9-4.4.6=-87</math> donc le polynôme admet deux racines complexes conjuguées <math>r_1=\frac{3-i\sqrt{87}}8</math> et <math>r_2=\frac{3+i\sqrt{87}}8</math>, toutes deux de module <math>\rho=\left | \frac{3+i\sqrt{87}}8\right |=\frac{\sqrt6}2</math> et d'argument (au signe près) <math>\theta=\arctan \left ( \frac{\sqrt{87}}3 \right)</math>
* L'ensemble des solutions de l'«équation homogène associée à (v<sub>n</sub>)» est alors <math>\left \{\forall n \in \N,~s_n=\rho^n (A \cos(n\theta)+B\sin(n\theta))/(A,B)\in\R^2\right \}</math>
* On cherche une solution particulière de l'équation de récurrence originale. On pose pour cela <math>P(X)=4X^2-3X+6</math>. On a P(1)=7 donc la suite définie par <math>\forall n \in \N,~\sigma_n=\frac{20}7</math> est solution particulière de l'équation de récurrence initiale.
* L'ensemble des solutions de l'équation de récurrence est alors <math>\left \{\forall n \in \N,~s_n=\rho^n (A \cos(n\theta)+B\sin(n\theta))+\frac{20}7/(A,B)\in\R^2\right \}</math>
* On utilise alors les conditions initiales pour trouver l'expression de v<sub>n</sub> en trouvant A et B:
* <math>\begin{cases}
\displaystyle{v_0=1=A+\frac{20}7}\\
\displaystyle{v_1=-1=\rho (A \cos(\theta)+B\sin(\theta))+\frac{20}7}
\end{cases}</math> donc <math>\begin{cases}
A=\displaystyle{-\frac{13}7}\\
\displaystyle{-\frac{27}7=\frac{\sqrt6}2 \left(-\frac{13}7 \frac{\sqrt6}8+B\frac{\sqrt{58}}8 \right )}
\end{cases}</math>
* Tous calculs faits, on obtient <math>(A,B)=\left (-\frac{13}7,-\frac{59\sqrt{87}}{203}\right )</math>
 
{{Encadre
| contenu =
Finalement : <math>\forall n \in \N,~v_n=\left ( \frac{\sqrt6}2\right )^n \left (-\frac{13}7 \cos \left (n \arctan \left ( \frac{\sqrt{87}}3 \right ) \right )-\frac{59\sqrt{87}}{203}\sin \left (n \arctan \left ( \frac{\sqrt{87}}3 \right ) \right ) \right )+\frac{20}7</math>
}}
}}
 
{{Solution
| titre = Solution de la question 2
| contenu =
* <math>\forall n \in \N,~u_n=\frac7{12}+\frac5{12} \left (-\frac15 \right )^n+\frac n2</math>
** <math>\left |-\frac15 \right |<1</math> donc <math>\left (\left (-\frac15 \right )^n \right )_{n \in \N}</math> tend vers 0
 
{{Encadre
| contenu =
Donc <math>\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=+\infty</math>
}}
 
* <math>\forall n \in \N,~v_n=\left ( \frac{\sqrt6}2\right )^n \left (-\frac{13}7 \cos \left (n \arctan \left ( \frac{\sqrt{87}}3 \right ) \right )-\frac{59\sqrt{87}}{203}\sin \left (n \arctan \left ( \frac{\sqrt{87}}3 \right ) \right ) \right )+\frac{20}7</math>
* <math>\frac{\sqrt6}2>1</math>
* Montrons que <math>(x_n)_{n\in\N}=\left(-\frac{13}7\cos\left(n\arctan\left(\frac{\sqrt{87}}3\right)\right)-\frac{59\sqrt{87}}{203}\sin\left(n \arctan\left(\frac{\sqrt{87}}3\right)\right)\right)_{n\in\N}</math> n'admet pas de limite en <math>+\infty</math>
 
Soit <math>n\in\mathbb N</math>:
 
<math>\begin{align}
x_n&=A\cos(n\theta)+B\sin(n\theta)\\
&=\left(\frac A{\sqrt{A^2+B^2}}\cos(n\theta)+\frac B{\sqrt{A^2+B^2}}\sin(n\theta)\right)\sqrt{A^2+B^2}\\
\end{align}</math>
 
Comme <math>\left(\frac A{\sqrt{A^2+B^2}}\right)^2+\left(\frac B{\sqrt{A^2+B^2}}\right)^2=1</math>, il existe <math>\alpha\in\R</math> tel que <math>\begin{cases}
\displaystyle{\cos(\alpha)=\frac B{\sqrt{A^2+B^2}}}\\
\displaystyle{\sin(\alpha)=\frac A{\sqrt{A^2+B^2}}}
\end{cases}</math>
 
Donc
 
<math>\begin{align}
x_n&=\left(\frac A{\sqrt{A^2+B^2}}\cos(n\theta)+\frac B{\sqrt{A^2+B^2}}\sin(n\theta)\right)\sqrt{A^2+B^2}\\
&=\left(\sin(\alpha)\cos(n\theta)+\cos(\alpha)\sin(n\theta)\right)\sqrt{A^2+B^2}\\
&=\sqrt{A^2+B^2}\sin(\alpha+n\theta)
\end{align}</math>
 
Sous cette forme, il apparaît bien que <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}</math> n'admet pas de limite.
 
{{Encadre
| contenu =
Donc (v<sub>n</sub>) n'admet pas de limite en <math>+\infty</math>
}}
}}
 
{{Solution}}
 
{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
| précédent = [[../..Suites récurrentes linéaires 1/|Sommaire]]
| suivant = [[../Suites récurrentes linéaires 23/]]
}}