« Intégration de Riemann/Intégrale et primitives » : différence entre les versions
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{{Démonstration déroulante|contenu =
* Il est clair que <math>F</math> s'annule en <math>a</math> : <math>F(a) = \int_a^a f(t)\mathrm{d}t = 0</math> .<br />Il faut montrer maintenant que <math>F</math> est bien une primitive de <math>f</math> , c'est-à-dire que <math>F'=f</math> ou encore (par [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité|définition de la dérivée]]) que<br /><math>\forall x_0 \in \R\quad\lim_{x\to x_0} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = f(x_0).</math><br />La relation de Chasles donne :<br /><math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}= \frac{1}{x-x_0}\left(\int_a^x f(t)\mathrm{d}t - \int_a^{x_0} f(t)\mathrm{d}t\right)=\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^{x} f(t)\mathrm{d}t</math><br />donc :<br /><math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)=\frac{1}{x-x_0}\left(\int_{x_0}^{x} f(t)\mathrm{d}t-(x-x_0)f(x_0)\right)=\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x\left(f(t)-f(x_0)\right)\mathrm{d}t.</math><br />Soit <math>\varepsilon>0</math>. Par continuité de <math>f</math> au point <math>x_0</math>, il existe <math>\eta>0</math> tel que<br /><math>\forall t\in[x_0-\eta,x_0+\eta]\quad|f(t)-f(x_0)|\le\varepsilon</math><br />donc tel que<br /><math>\forall x\in[x_0-\eta,x_0+\eta]\quad\left|\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)\right|\le\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x\left|f(t)-f(x_0)\right|\mathrm{d}t\le\varepsilon</math> : c'est précisément ce
* Soit <math>G</math> la primitive qui était désignée par <math>F</math> dans la première partie du Théorème.<br />Alors <math>\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = G(b) = G(b) - G(a)</math> puisque <math>G(a) = 0</math> .<br />Toute autre primitive <math>F</math> de <math>f</math> diffère de <math>G</math> par une constante <math>k\in \R</math> , donc <math>F(x) = G(x) + k \,\forall x \in [a;b]</math> et :<br /><math>F(b)-F(a) = (G(b)+k)-(G(a)+k) = G(b)-G(a)= G(b) = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x</math>, ce qui est le résultat annoncé.}}
Ligne 155 :
Donc, si <math>F</math> est une primitive de <math>f</math> sur <math>I</math> : <math>\int f(x)\mathrm dx = \{x\mapsto F(x)+k | k\in \R\}.</math>
Par abus de langage, cette notation désigne aussi une primitive quelconque de <math>f</math> : '''il faut toutefois bien garder à l'esprit
== Méthodes de calcul intégral ==
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