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« Schéma déductif des propriétés mathématiques au collège » : différence entre les versions

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== Autres propriétés des symétries axiales ==
==== Une droite perpendiculaire à l'axe d'uned’une symétrie est invariante globalement par cette symétrie. ====
Évident par définition de la symétrie axiale.
==== L'image par une symétrie axiale d'uned’une droite parallèle à l'axe est parallèle à la droite d'origine ====
 
Supposons qu'elles se coupent en I, son symétrique I' serait aussi sur les deux droites, donc I=I'.
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==== Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles ====
D et D' sont distinctes et perpendiculaires à (AB). D'après la propriété : [[#Une droite perpendiculaire à l'axe d'uned’une symétrie est invariante globalement par cette symétrie|"Une droite perpendiculaire à l'axe d'uned’une symétrie est invariante globalement par cette symétrie"]], D et D' sont invariantes par la symétrie d'axe (AB). Supposons-les sécantes en O. Alors O' le symétrique de O par rapport à (AB) appartient aussi à D et à D', qui ont alors deux points communs, ce qui contredit l'hypothèse de départ.
 
==== Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est alors perpendiculaire à l'autre ====
Soit D et D' les deux parallèles. La perpendiculaire en A à l'une est sécante en B à l'autre d'après :[[#Si deux droites sont parallèles, toute sécantes à l'une est sécante à l'autre|"Si deux droites sont parallèles, toute sécantes à l'une est sécante à l'autre"]].
Soit <math>\delta</math> la médiatrice de [AB], alors (AB) est perpendiculaire à D et <math>\delta</math> qui sont donc parallèles d'après la propriété : [[#Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles|"Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles"]].
Mais alors l’image de D par rapport à <math>\delta</math> est parallèle à D (d'après la propriété : [[#L'image par une symétrie axiale d'uned’une droite parallèle à l'axe est parallèle à la droite d'origine|"L'image par une symétrie axiale d'uned’une droite parallèle à l'axe est parallèle à la droite d'origine"]]), et passe par B. De plus par l'axiome : [[#La symétrie axiale ne change pas les angles|"La symétrie axiale ne change pas les angles"]] et l'axiome : [[#Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée|"Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée"]] elle est égale à D'. Donc D' est parallèle à D.
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