« Topologie générale/Espace topologique » : différence entre les versions
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De la même manière qu'en [[Département:Algèbre|algèbre]] générale, les notions de [[Groupe (mathématiques)|groupes]], d'[[Anneau (mathématiques)|anneaux]] et de [[Corps (mathématiques)|corps]] généralisent ce que nous savons de l'addition des réels à des structures plus abstraites, voire exotiques, la structure d'espace topologique permet de généraliser celle d'espace euclidien à des objets mathématiques de nature totalement différente (espace de nombres, espaces fonctionnels…) L'intuition géométrique joue un grand rôle en topologie, bien qu’il faille toujours se méfier des dessins (dont la pertinence est limitée quand il s'agit de représenter des espaces de dimension infinie).
On définit donc la structure de base de la topologie : l'espace topologique, défini comme la donnée d'un ensemble <math>X</math>, et
== Définition fondamentales ==
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* Les ensembles <math>\emptyset</math> et <math>X</math> sont dans <math>\mathcal{T}</math>
* La réunion
* L'intersection
<math>\mathcal{T}</math> s'appelle la topologie associée à l'espace topologique <math>(X, \mathcal{T})</math>. La plupart du temps, la topologie est sous-entendue, si bien qu'on commettra l'abus de confondre <math>X</math> et <math>(X,\mathcal{T})</math>.
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Ils vérifient donc les propriétés suivantes :
* Les ensembles <math>\emptyset</math> et <math>X</math> sont des fermés
* L'intersection
* La réunion
}}
Il est important de noter qu'une partie de <math>X</math> qui n'est pas ouverte, n'est pas fermée pour autant (et inversement). De plus, elle ne sont pas incompatibles : une partie de E peut être à la fois ouverte et fermée. Par exemple :
Ligne 47 :
| titre = Définition : Voisinage
| contenu =
Soit <math>(X, \mathcal{T})</math> un espace topologique, et soit <math>x</math> un élément de cet ensemble. On appelle '''voisinage''' de <math>x</math> toute partie contenant un ouvert, qui contient lui-même <math>x</math>. On peut aussi parler de voisinage
}}
{{Proposition
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De même, <math>\mathbb R^n</math> est un espace topologique, et l'on dit que <math>O \subset \mathbb R^n</math> est ouvert si pour tout <math>x \in O</math>, il existe <math>\epsilon>0</math> tel que <math>]x_1-\epsilon, x_1+\epsilon[ \times \cdots \times ]x_n-\epsilon, x_n+\epsilon[ \subset O</math>.
Ce n'est pas la seule manière de définir une topologie sur cet espace, mais toutes les manières à peu près « raisonnables » (c'est-à-dire telles que la topologie dérive
}}
Ligne 89 :
| titre = Exemple : Topologie de la convergence uniforme
| contenu =
L’analyse fonctionnelle, quant à elle, a pour cadre les espaces fonctionnels, qui sont des espaces vectoriels de dimension infinie, munis
Premier exemple : l'ensemble des suites réelles <math>\mathbb R^n</math> est un espace vectoriel. On peut définir une topologie en décrétant que <math>O \subset \mathbb R^n</math> est ouvert si, pour toute suite <math>(x_n) \in O</math>, il existe <math>\epsilon>0</math> tel que toute suite <math>(y_n)</math> vérifiant <math>\forall n \in \N, |x_n - y_n| < \epsilon</math> est dans <math>O</math>. Cette topologie se nomme '''topologie de la convergence uniforme'''.
Ce n'est pas la seule manière de définir une topologie sur cet espace.
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