« Systèmes de Cramer/Pivot de Gauss » : différence entre les versions

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Robot : Remplacement de texte automatisé (- l'ordre + l’ordre )
m (Robot : Remplacement de texte automatisé (-qu'il +qu’il))
m (Robot : Remplacement de texte automatisé (- l'ordre + l’ordre ))
La méthode du pivot de Gauss permet également de calculer le rang, l'inverse et le déterminant d'une matrice. Sa complexité est en <math>O\left(n^3\right)</math>, ce qui en fait un algorithme plus efficace que la méthode de Cramer, plus général que celle-ci. Néanmoins, il ne s'agit pas du « meilleur algorithme envisageable » : on pense qu'un tel algorithme atteindrait une complexité proche de <math>O \left( n^2 \right)</math>. Nous avons évoqué plus haut la faible précision de cet algorithme — en réalité, dans certains contextes, il est possible d'obtenir une précision ''exacte'' — mais ce n'est pas avec des nombres réels !
 
Cette notion de complexité signifie que, si on tente de résoudre un système de ''n'' équations à ''n'' inconnues, il faut effectuer de l'ordrel’ordre de ''n³'' opérations. Dans notre exemple, ''n = 3'' — il faut tout de même effectuer de l'ordrel’ordre de 27 opérations.
 
Il existe une variante : une fois le système ''étagé'', on repart à partir de la dernière ligne pour éliminer les termes en ''z'', puis de l'avant dernière pour éliminer les termes en ''y'' ''etc.'' on aboutit ainsi à un système ''diagonal'', dont les solutions sont immédiates. C'est ce qu’il faut faire lors du calcul de l'inverse d'une matrice.
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