« Intégration de Riemann/Intégrale de Riemann » : différence entre les versions
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Ligne 116 :
D'après la propriété précédente, si <math>f</math> est continue sur <math>[a;b]</math> , alors il existe deux fonctions <math>\psi</math> et <math>\varphi</math> en escalier telles que (en fixant <math>\varepsilon>0</math>) <math>\psi \le f \le \varphi</math> et <math>\varphi-\psi<\varepsilon</math> .<br />
On peut montrer (ce sera fait dans le cours sur les propriétés de l'intégrale) que <math>\varphi-\psi<\varepsilon \Rightarrow \int_a^b \varphi(x)-\psi(x) \mathrm{d}x < \int_a^b \varepsilon \mathrm{d}x = \varepsilon(b-a)</math>. <br />
Mais comme cela est vrai '''pour tout''' <math>\varepsilon >0</math> , cela signifie par passage à la limite que les bornes inférieures et supérieures annoncées existent et
<center><math>\inf \mathcal I^+ = \sup \mathcal I^-</math></center><br /> ce qui achève la démonstration.}}
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