« Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices » : différence entre les versions

<math>\mathbf{A}\in\mathbb{C}^{n,n}</math> est dite ''positive'' si <math>\forall \vec{x}\in\mathbb{C}^n</math>, <math>(\mathbf{A}\vec{x},\vec{x})\geq 0</math> et ''définie positive'' si <math>\forall \vec{x}\in\mathbb{C}^n</math>, <math>\vec{x}\neq 0</math>, <math>(\mathbf{A}\vec{x},\vec{x})\geqslant 0</math>. La matrice <math>\mathbf{I}</math> désigne la matrice identité dans <math>\mathbb{C}^{n,n}</math>. De plus, une matrice <math>\mathbf{A}</math> est dite ''diagonale'' si <math>a_{ij}=0</math> pour <math>i\neq j</math>. Elle est dite ''bande'' <math>(p,q)</math> si <math>a_{ij}=0</math> pour <math>i\geq j+p</math> et <math>j\geq i+q</math>, soit: à définir

 

* une matrice hermitienne <math>\mathbf{A}\in\mathbb{C}^{n,n}</math> telle que <math>\mathbf{A}=\mathbf{A}^*</math> a toutes ses valeurs propres réelles et il existe une base de <math>\mathbb{C}^n</math> de vecteurs propres de <math>\mathbf{A}</math>: <math>\mathbf{A}</math> est donc diagonalisable. En particulier, une matrice réelle symétrique a toutes ses valeurs propres réelles;

* une matrice définie positive a toutes ses valeurs propres strictement positives;