« Polynôme/Arithmétique des polynômes » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m Robot : Remplacement de texte automatisé (- l'ordre + l’ordre ) |
m Robot : Remplacement de texte automatisé (- l'existence + l’existence ) |
||
Ligne 28 :
:La démonstration se fonde sur une propriété des degrés, le degré du produit de deux polynômes ''M'' et ''N'' est égal à la somme des degrés de chaque polynôme :
::<math>\text{deg } (M\cdot N) = \text{deg }M + \text{deg }N</math>
:On suppose
::<math>A = BQ_1 + R_1,\quad A = BQ_2 + R_2 \quad\text{donc}\quad (1)\quad B(Q_1-Q_2) + R_1-R_2 = 0 </math>
Ligne 41 :
::<math>A = \frac {a_m}{b_m} B + R \quad \text{avec}\quad R = \left(a_{m-1} - \frac {a_mb_{m-1}}{b_m}\right)X^{m-1} + \cdots + \left(a_1 - \frac{a_mb_1}{b_m}\right)X + \left(a_0 - \frac {a_mb_0}{b_m}\right) \;</math>
:Ce qui démontre la proposition pour ''p'' égal à 0. Supposons maintenant la propriété démontrée pour toute valeur inférieure à ''p'' - 1 et montrons la pour ''p''. Un calcul analogue au précédent montre
::<math>(1)\quad A = \frac {a_m}{b_n} X^p.B + R_1 \quad \text{avec}\quad \deg R_1 \le m - 1 \;</math>
:La différence de degré entre ''R''<sub>1</sub> et ''B'' est inférieure ou égal à ''p'' - 1, l'hypothèse de récurrence montre
::<math>(2)\quad R_1 = Q_1.B + R \quad \text{avec}\quad \deg R < \deg B \;</math>
Ligne 239 :
On a de manière évidente, par définition d'un idéal et comme <math> I_{min} \in I </math>, <math> (I_{min}) \subset I</math>.
Réciproquement, soit <math> Q \in I </math>,
Ce polynôme vérifie <math>R \in I</math>, comme somme de deux éléments de ce même idéal. Par définition de n, la condition <math> deg(R) < n </math> implique <math>R=0 </math> et <math> deg(R) = -\infty </math>.
Ligne 246 :
<math>Q \in (I_{min}) </math>.
D'où
S'il y'avait deux polynômes vérifiant le résultat alors ces derniers sont forcément associés. Les polynômes étant choisis unitaires, ils sont donc égaux. D'où l'unicité.
| |||