« Géométrie différentielle/Formes différentielles » : différence entre les versions

 

{{Propriété|titre=Propriété:|contenu=Le produit exterieur d'un fibré est encore un fibré.}}

 

==forme différentielle==

{{Définition|titre=Définition: forme différentiel de degré p|contenu=Soit <math>M</math> une variété de degré n. L'ensemble des formes différentiels de degré p est <math>\Lambda^p(T^*M)</math>.

Soit <math>\sigma \in \Lambda^p(T^*M)</math>, on a alors pour <math>x \in M, \sigma(x) \in \Lambda^p(T^{*}_{x}M)</math>. De plus on identifie <math>\Lambda^p T^{*}_{x}M</math> à <math>(\Lambda^p T_x M)^*</math>}}

 

{{Définition|titre=Notation: <math>\varphi^*</math>,pull-back|contenu=Soient <math>M</math> et <math>N</math> deux variétés de dimensions m et n. Si <math>f:M\rightarrow N</math> est une application de classe <math>C^{1}</math>, et si <math>\alpha</math> est une forme différentielle de degré <math>k</math> sur <math>N</math>, on définit <math> f^*\alpha</math> comme une forme différentielle de degré <math>k</math> sur <math>M</math> par :

<center><math>(f^*\alpha)_x(v_1,\dots,v_k)=\alpha_{f(x)}(\mathrm df_x(v_1),\dots,\mathrm df_x(v_k))</math>.</center>

Si k=0, on pose <math>f^*\alpha=\alpha\circ f</math>}}

 

{{Théorème|titre=Existence et unicité de la dérivée exterieur|contenu=Soit <math>M</math> une variété de dimension n. Alors il existe une unique dérivée exterieur.}}

 

{{Définition|titre=Définition: Orientation d'une carte|contenu=Soit <math>M</math> une variété orienté de dimension n, et soit <math>(U,\varphi)</math> une carte de <math>M</math>. On dit que <math>(U,\varphi)</math> est orienté positivement si <math>\varphi^*(</math>}}

 

{{Propriété|titre=Propriété:|contenu=L'integration "locale" ne dépend pas de la carte, elle est intrinsèque.}}

 

{{Bas de page

| idfaculté = mathématiques